Semester 1
1. Bilangan Bulat
Bilangan bulat terdiri dari bilangan positif, nol, dan bilangan negatif .
Operasi Hitung Bilangan Bulat:
| Operasi | Contoh | Hasil |
|---|---|---|
| Penjumlahan | 5 + (-3) | 2 |
| Pengurangan | 5 – (-3) = 5 + 3 | 8 |
| Perkalian | (-2) × 4 | -8 |
| Pembagian | 15 : (-3) | -5 |
Aturan tanda perkalian/pembagian: positif × positif = positif, positif × negatif = negatif, negatif × negatif = positif .
2. Operasi Hitung Campuran
Mengerjakan operasi campuran (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) dengan memperhatikan aturan hierarki: perkalian dan pembagian dikerjakan terlebih dahulu sebelum penjumlahan dan pengurangan .
Contoh: 341 + (-18) × 6 – 279 = 341 – 108 – 279 = -46 .
3. FPB dan KPK
- FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari dua atau tiga bilangan
- KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil) dari dua atau tiga bilangan
4. Akar Pangkat Tiga
Menentukan akar pangkat tiga suatu bilangan kubik .
Contoh: ³√27 = 3, karena 3³ = 27.
5. Satuan Volume dan Debit
6. Luas Bangun Datar
7. Pengumpulan dan Pengolahan Data
Mengumpulkan data, menyajikan dalam bentuk tabel, dan menafsirkan data .
📚 Semester 2
1. Operasi Hitung Pecahan
- Menyederhanakan dan mengurutkan pecahan
- Mengubah pecahan ke desimal atau sebaliknya
- Operasi hitung berbagai bentuk pecahan
- Memecahkan masalah dengan skala
Contoh: 3/4 – 1/3 = 9/12 – 4/12 = 5/12 .
2. Sistem Koordinat
- Menggambar letak benda pada denah
- Menentukan posisi titik dalam sistem koordinat Kartesius (sumbu x dan y)
3. Pengolahan Data
- Penyajian data dalam diagram (batang, garis, lingkaran)
- Menentukan rata-rata hitung, median, dan modus
Contoh: Data 5,6,7,7,7,8,8,8,9,9 → rata-rata = 7,4; median = 7,5; modus = 7 dan 8 .
4. Volume Bangun Ruang
5. Peluang
💡 Tips Belajar
- Pahami konsep dasar sebelum mengerjakan soal .
- Latihan soal HOTS untuk mengembangkan kemampuan berpikir tingkat tinggi .
- Hubungkan dengan kehidupan sehari-hari, misalnya perhitungan diskon, debit air, atau pembagian kue .
BILANGAN BULAT
A. PENGERTIAN BILANGAN BULAT
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari:
- Bilangan bulat positif (bilangan asli): 1, 2, 3, 4, 5, …
- Nol (0)
- Bilangan bulat negatif: -1, -2, -3, -4, -5, …
📌 GARIS BILANGAN
text
<----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|---->
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(Semakin ke kiri nilainya semakin kecil)
(Semakin ke kanan nilainya semakin besar)
Contoh: -5 < -3 < 0 < 2 < 4
(dibaca: negatif 5 lebih kecil dari negatif 3, dst.)
B. OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT
1. PENJUMLAHAN
Aturan Penjumlahan:
| Jenis | Cara | Contoh |
|---|---|---|
| Positif + Positif | Jumlahkan seperti biasa | 5 + 3 = 8 |
| Negatif + Negatif | Jumlahkan, hasilnya negatif | -5 + (-3) = -8 |
| Positif + Negatif | Kurangi, tandai angka terbesar | 5 + (-3) = 2 |
| Negatif + Positif | Kurangi, tandai angka terbesar | -5 + 3 = -2 |
Cara Praktis dengan Garis Bilangan:
- Mundur untuk bilangan negatif
- Maju untuk bilangan positif
Contoh 1: 4 + (-6) = …
- Mulai dari 4
- Karena + (-6), mundur 6 langkah
- Berhenti di -2
- Jadi, 4 + (-6) = -2
Contoh 2: -3 + 7 = …
- Mulai dari -3
- Maju 7 langkah
- Berhenti di 4
- Jadi, -3 + 7 = 4
2. PENGURANGAN
Konsep Penting!
text
Mengurangi = Menambah dengan lawan bilangan a - b = a + (-b)
Contoh:
- 5 – 3 = 5 + (-3) = 2
- 5 – (-3) = 5 + 3 = 8 ✨
- -5 – (-3) = -5 + 3 = -2
- -5 – 3 = -5 + (-3) = -8
⚠️ Perhatikan: Jika ada tanda “kurang bertemu negatif”, berubah menjadi positif!
- (-a) = + a
3. PERKALIAN
Aturan Perkalian:
| Tanda | Hasil | Contoh |
|---|---|---|
| (+) × (+) | Positif | 3 × 4 = 12 |
| (+) × (-) | Negatif | 3 × (-4) = -12 |
| (-) × (+) | Negatif | -3 × 4 = -12 |
| (-) × (-) | Positif | -3 × (-4) = 12 |
Ingat: Perkalian adalah penjumlahan berulang.
Contoh: -4 × 5 = (-4) + (-4) + (-4) + (-4) + (-4) = -20
4. PEMBAGIAN
Aturan Pembagian:
| Tanda | Hasil | Contoh |
|---|---|---|
| (+) : (+) | Positif | 12 : 4 = 3 |
| (+) : (-) | Negatif | 12 : (-4) = -3 |
| (-) : (+) | Negatif | -12 : 4 = -3 |
| (-) : (-) | Positif | -12 : (-4) = 3 |
Intinya:
- Sama tanda → hasil positif
- Beda tanda → hasil negatif
5. OPERASI HITUNG CAMPURAN
Aturan Urutan Pengerjaan (Hierarki Operasi):
text
1️⃣ Kerjakan yang di dalam kurung terlebih dahulu 2️⃣ Perkalian dan pembagian (dari kiri ke kanan) 3️⃣ Penjumlahan dan pengurangan (dari kiri ke kanan)
INGAT! Perkalian dan pembagian lebih kuat (didahulukan) dari penjumlahan dan pengurangan.
📝 CONTOH SOAL:
Soal 1: 341 + (-18) × 6 – 279 = …
Penyelesaian:
text
341 + (-18) × 6 - 279 = 341 + (-108) - 279 (kerjakan perkalian dulu) = 233 - 279 (341 + (-108) = 233) = -46 (233 - 279 = -46)
Jadi, 341 + (-18) × 6 – 279 = -46 ✅
Soal 2: 15 – 3 × (-4) + 12 : (-3) = …
Penyelesaian:
text
15 - 3 × (-4) + 12 : (-3) = 15 - (-12) + (-4) (3×(-4)=-12, 12:(-3)=-4) = 15 + 12 - 4 (15 - (-12) = 27, tapi hitung urut) = 27 - 4 = 23
Jadi, 15 – 3 × (-4) + 12 : (-3) = 23 ✅
Soal 3: -6 × (12 – (-4)) : (-8) = …
Penyelesaian:
text
-6 × (12 - (-4)) : (-8) = -6 × (12 + 4) : (-8) (kerjakan kurung dulu) = -6 × 16 : (-8) (12 + 4 = 16) = -96 : (-8) (-6 × 16 = -96) = 12 (-96 : -8 = 12, sama tanda → positif)
Jadi, -6 × (12 – (-4)) : (-8) = 12 ✅
C. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1 (Penjumlahan & Pengurangan)
Kerjakan dengan garis bilangan!
- 8 + (-5) = …
- -6 + 9 = …
- 7 – (-4) = …
- -3 – 6 = …
- -8 – (-3) = …
✏️ Soal 2 (Perkalian & Pembagian)
Tentukan hasilnya!
- 7 × (-6) = …
- -9 × (-5) = …
- -72 : 8 = …
- -56 : (-7) = …
- 9 × (-4) : (-6) = …
✏️ Soal 3 (Operasi Campuran)
Selesaikan dengan urutan yang benar!
- 250 + (-25) × 5 – 100 = …
- -3 × 8 + (-40) : 5 = …
- 40 – 5 × 6 + 18 : (-3) = …
- -12 × (8 – (-4)) : 6 = …
- 90 : (-9) + 7 × (-6) – 4 = …
✏️ Soal 4 (Soal Cerita)
1. Suhu di Kota A adalah -8°C. Setelah itu naik 12°C. Berapa suhu Kota A sekarang?
Jawab: -8 + 12 = 4°C
2. Seekor ikan berenang di kedalaman 15 meter di bawah permukaan laut. Kemudian ikan itu naik 7 meter. Di kedalaman berapa ikan itu sekarang?
Jawab: -15 + 7 = -8 meter (8 meter di bawah permukaan laut)
3. Andi memiliki hutang Rp35.000. Kemudian ia membayar Rp20.000. Berapa sisa hutang Andi?
Jawab: -35.000 + 20.000 = -15.000 (masih berhutang Rp15.000)
D. RANGKUMAN
| Operasi | Aturan Dasar |
|---|---|
| Penjumlahan | Sama tanda → jumlahkan, Beda tanda → kurangi |
| Pengurangan | Ubah menjadi penjumlahan lawan bilangan: a - b = a + (-b) |
| Perkalian/Pembagian | Sama tanda → positif, Beda tanda → negatif |
| Campuran | Kurung → ×/÷ → +/− (dari kiri ke kanan) |
💡 Kunci Sukses:
- ✅ Pahami konsep garis bilangan
- ✅ Hafalkan aturan tanda
- ✅ Kerjakan soal secara bertahap
- ✅ Perhatikan urutan operasi
- ✅ Banyak latihan soal
OPERASI HITUNG CAMPURAN
A. PENGERTIAN
Operasi hitung campuran adalah operasi hitung yang melibatkan lebih dari satu jenis operasi (penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian) dalam satu soal.
Contoh:
- 25 + 6 × 3 = … (melibatkan penjumlahan dan perkalian)
- 48 : 6 – 4 = … (melibatkan pembagian dan pengurangan)
- 15 + 8 × 4 – 20 : 5 = … (melibatkan semua operasi)
B. ATURAN URUTAN PENGERJAAN (HIERARKI OPERASI)
🔑 KUNCI UTAMA:
Kurung → Perkalian & Pembagian → Penjumlahan & Pengurangan
INGAT SINGKATAN: “KAPAP” (Kurung, Akar/Pangkat, Perkalian/Pembagian, Penjumlahan/Pengurangan)
📋 ATURAN LENGKAP:
text
URUTAN PENGERJAAN:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
1️⃣ KURUNG → ( ... ) dikerjakan paling awal
2️⃣ PANGKAT & AKAR → pangkat dan akar (jika ada)
3️⃣ PERKALIAN & → × dan : (dari kiri ke kanan)
PEMBAGIAN
4️⃣ PENJUMLAHAN & → + dan - (dari kiri ke kanan)
PENGURANGAN
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
⚠️ PERINGATAN PENTING:
- Perkalian dan pembagian SAMA KUAT, kerjakan dari KIRI ke KANAN
- Penjumlahan dan pengurangan SAMA KUAT, kerjakan dari KIRI ke KANAN
- JANGAN tergoda mengerjakan penjumlahan dulu sebelum perkalian!
C. CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN
📝 CONTOH 1: Operasi Dasar (Perkalian + Penjumlahan)
Soal: 25 + 6 × 3 = …
Penyelesaian:
text
25 + 6 × 3 = 25 + 18 (kerjakan perkalian dulu: 6 × 3 = 18) = 43 (baru jumlahkan: 25 + 18)
Jawaban: 43 ✅
❌ Jangan keliru: Jangan kerjakan 25 + 6 dulu! (25 + 6) × 3 = 93 (SALAH)
📝 CONTOH 2: Pembagian + Pengurangan
Soal: 48 : 6 – 4 = …
Penyelesaian:
text
48 : 6 - 4 = 8 - 4 (kerjakan pembagian dulu: 48 : 6 = 8) = 4 (baru kurangi: 8 - 4)
Jawaban: 4 ✅
📝 CONTOH 3: Perkalian & Pembagian (Sama Kuat)
Soal: 36 : 4 × 3 = …
Penyelesaian:
text
36 : 4 × 3 = 9 × 3 (kerjakan dari kiri: 36 : 4 = 9) = 27 (baru kalikan: 9 × 3)
Jawaban: 27 ✅
⚠️ Perkalian dan pembagian sama kuat, kerjakan dari KIRI!
📝 CONTOH 4: Penjumlahan & Pengurangan (Sama Kuat)
Soal: 45 – 12 + 7 = …
Penyelesaian:
text
45 - 12 + 7 = 33 + 7 (kerjakan dari kiri: 45 - 12 = 33) = 40 (baru tambahkan: 33 + 7)
Jawaban: 40 ✅
📝 CONTOH 5: Operasi Campuran Lengkap
Soal: 15 + 8 × 4 – 20 : 5 = …
Penyelesaian:
text
15 + 8 × 4 - 20 : 5 = 15 + 32 - 4 (8×4=32 dan 20:5=4, kerjakan dulu) = 47 - 4 (15 + 32 = 47, dari kiri) = 43 (47 - 4 = 43)
Jawaban: 43 ✅
📝 CONTOH 6: Dengan Tanda Kurung
Soal: (15 + 8) × 4 – 20 : 5 = …
Penyelesaian:
text
(15 + 8) × 4 - 20 : 5 = 23 × 4 - 20 : 5 (kerjakan kurung dulu: 15+8=23) = 92 - 4 (23×4=92 dan 20:5=4) = 88 (92 - 4 = 88)
Jawaban: 88 ✅
Bandingkan dengan Contoh 5! Hasilnya berbeda karena ada kurung.
📝 CONTOH 7: Dengan Bilangan Negatif
Soal: 341 + (-18) × 6 – 279 = …
Penyelesaian:
text
341 + (-18) × 6 - 279 = 341 + (-108) - 279 (-18 × 6 = -108) = 233 - 279 (341 + (-108) = 233) = -46 (233 - 279 = -46)
Jawaban: -46 ✅
📝 CONTOH 8: Soal Rumit
Soal: -12 × (8 – (-4)) : 6 + 5 = …
Penyelesaian:
text
-12 × (8 - (-4)) : 6 + 5 = -12 × (8 + 4) : 6 + 5 (kerjakan kurung dulu: 8-(-4)=12) = -12 × 12 : 6 + 5 (8+4=12) = -144 : 6 + 5 (-12×12=-144, dari kiri) = -24 + 5 (-144:6=-24) = -19 (-24+5=-19)
Jawaban: -19 ✅
📝 CONTOH 9: Soal Cerita
Soal: Bu Ani membeli 5 kg beras seharga Rp12.000 per kg dan 3 kg gula seharga Rp10.000 per kg. Jika Bu Ani membayar dengan uang Rp100.000, berapa kembaliannya?
Penyelesaian:
text
Kembalian = Uang - (Jumlah beras × Harga beras + Jumlah gula × Harga gula)
= 100.000 - (5 × 12.000 + 3 × 10.000)
= 100.000 - (60.000 + 30.000)
= 100.000 - 90.000
= 10.000
Jawaban: Rp10.000 ✅
D. KESALAHAN YANG SERING TERJADI
| ❌ SALAH | ✅ BENAR | KETERANGAN |
|---|---|---|
| 3 + 4 × 5 = 35 | 3 + 4 × 5 = 23 | Perkalian harus didahulukan |
| 12 : 3 × 2 = 2 | 12 : 3 × 2 = 8 | Kerjakan dari kiri (12:3=4, 4×2=8) |
| 20 – 5 + 3 = 12 | 20 – 5 + 3 = 18 | Kerjakan dari kiri (20-5=15, 15+3=18) |
| 4 × (5 + 3) = 32 | 4 × (5 + 3) = 32 | Kurung dikerjakan dulu (tapi jawaban kebetulan sama) |
| 5 + 3 × (2 + 4) = 48 | 5 + 3 × (2 + 4) = 23 | Kurung dulu (6), lalu 3×6=18, baru +5=23 |
E. LATIHAN SOAL
✏️ LATIHAN 1 (Operasi Dasar)
Kerjakan soal-soal berikut!
- 45 + 7 × 6 = …
- 80 – 12 × 4 = …
- 72 : 8 + 15 = …
- 100 – 56 : 7 = …
- 9 × 6 – 24 : 3 = …
✏️ LATIHAN 2 (Dengan Kurung)
- (45 + 7) × 6 = …
- 80 – (12 × 4) = …
- (72 : 8) + 15 = …
- 100 – (56 : 7) = …
- (9 × 6) – (24 : 3) = …
✏️ LATIHAN 3 (Bilangan Negatif)
- 250 + (-25) × 5 – 100 = …
- -3 × 8 + (-40) : 5 = …
- 40 – 5 × 6 + 18 : (-3) = …
- -12 × (8 – (-4)) : 6 = …
- 90 : (-9) + 7 × (-6) – 4 = …
✏️ LATIHAN 4 (Soal Cerita)
- Sebuah toko menjual 8 kotak pensil. Setiap kotak berisi 12 pensil. Jika harga per pensil Rp2.500, berapa total harga semua pensil?
- Suhu di puncak gunung -5°C. Setiap jam suhu naik 3°C. Berapa suhu setelah 4 jam?
- Seorang pedagang memiliki 75 kg apel. Ia menjual 25 kg dan sisanya dibagi ke dalam 5 kantong sama berat. Berapa kg apel dalam setiap kantong?
- Ayah memiliki uang Rp500.000. Ia membeli 4 baju @Rp75.000 dan 3 celana @Rp60.000. Berapa sisa uang Ayah?
F. RANGKUMAN AKHIR
text
┌────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 📌 RINGKASAN │ ├────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ 1️⃣ KURUNG dikerjakan PALING PERTAMA │ │ │ │ 2️⃣ PERKALIAN dan PEMBAGIAN SAMA KUAT │ │ Kerjakan dari KIRI ke KANAN │ │ │ │ 3️⃣ PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN SAMA KUAT │ │ Kerjakan dari KIRI ke KANAN │ │ │ │ 💡 JANGAN KERJAKAN PENJUMLAHAN DULU SEBELUM │ │ PERKALIAN/PEMBAGIAN! │ │ │ │ 💡 KURUNG MENGUBAH SEGALANYA! │ │ 15 + 8 × 4 ≠ (15 + 8) × 4 │ │ │ └────────────────────────────────────────────────────────────┘
🎯 Kunci Jawaban Latihan
| Latihan 1 | Latihan 2 | Latihan 3 | Latihan 4 |
|---|---|---|---|
| 1. 87 | 1. 312 | 1. 25 | 1. Rp240.000 |
| 2. 32 | 2. 32 | 2. -32 | 2. 7°C |
| 3. 24 | 3. 24 | 3. 4 | 3. 10 kg |
| 4. 92 | 4. 92 | 4. 24 | 4. Rp20.000 |
| 5. 46 | 5. 46 | 5. -56 |
Semoga bahan ajar ini bermanfaat!
“Latihan membuat sempurna. Semakin sering berlatih, semakin mahir kamu!” 💪😊
FPB DAN KPK
A. PENGERTIAN
1. FPB (Faktor Persekutuan Terbesar)
FPB adalah bilangan terbesar yang dapat membagi habis dua atau lebih bilangan.
📌 Contoh: FPB dari 12 dan 18 adalah 6, karena 6 adalah bilangan terbesar yang dapat membagi habis 12 dan 18.
2. KPK (Kelipatan Persekutuan Terkecil)
KPK adalah bilangan terkecil yang merupakan kelipatan dari dua atau lebih bilangan.
📌 Contoh: KPK dari 4 dan 6 adalah 12, karena 12 adalah kelipatan terkecil dari 4 dan 6.
B. FAKTOR DAN KELIPATAN
1. Faktor Bilangan
Faktor adalah bilangan yang dapat membagi habis suatu bilangan.
Contoh: Faktor dari 12
text
12 : 1 = 12 ✓
12 : 2 = 6 ✓
12 : 3 = 4 ✓
12 : 4 = 3 ✓
12 : 6 = 2 ✓
12 : 12 = 1 ✓
Faktor 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
2. Kelipatan Bilangan
Kelipatan adalah hasil perkalian suatu bilangan dengan bilangan asli.
Contoh: Kelipatan 4
text
4 × 1 = 4
4 × 2 = 8
4 × 3 = 12
4 × 4 = 16
4 × 5 = 20
...
Kelipatan 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, ...}
C. CARA MENCARI FPB
🔷 METODE 1: Mencari Faktor Persekutuan
Contoh: Tentukan FPB dari 18 dan 24!
Langkah 1: Cari faktor masing-masing bilangan
text
Faktor 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Faktor 24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Langkah 2: Cari faktor yang sama (faktor persekutuan)
text
Faktor persekutuan 18 dan 24 = {1, 2, 3, 6}
Langkah 3: Ambil yang terbesar
text
FPB = 6 ✅
🔷 METODE 2: Faktorisasi Prima (Pohon Faktor)
Contoh: Tentukan FPB dari 36 dan 48!
Langkah 1: Buat pohon faktor
text
36 = 2² × 3² 48 = 2⁴ × 3
/ \ / \
2 18 2 24
/ \ / \
2 9 2 12
/ \ / \
3 3 2 6
/ \
2 3
Langkah 2: Ambil faktor yang sama dengan pangkat terkecil
text
36 = 2² × 3² 48 = 2⁴ × 3 FPB = 2² × 3 = 4 × 3 = 12 ✅
🔷 METODE 3: Tabel (Pembagian Bertingkat)
Contoh: Tentukan FPB dari 30, 45, dan 75!
| 30 | 45 | 75 | Faktor Prima |
|---|---|---|---|
| 15 | 45 | 75 | ÷ 3 |
| 5 | 15 | 25 | ÷ 5 |
| 1 | 3 | 5 | (sudah tidak bisa dibagi sama) |
FPB = 3 × 5 = 15 ✅
D. CARA MENCARI KPK
🔷 METODE 1: Mencari Kelipatan Persekutuan
Contoh: Tentukan KPK dari 4 dan 6!
Langkah 1: Cari kelipatan masing-masing
text
Kelipatan 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...}
Kelipatan 6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...}
Langkah 2: Cari kelipatan yang sama
text
Kelipatan persekutuan 4 dan 6 = {12, 24, 36, ...}
Langkah 3: Ambil yang terkecil
text
KPK = 12 ✅
🔷 METODE 2: Faktorisasi Prima (Pohon Faktor)
Contoh: Tentukan KPK dari 12 dan 18!
text
12 = 2² × 3 18 = 2 × 3²
Aturan: Ambil semua faktor dengan pangkat terbesar
text
KPK = 2² × 3² = 4 × 9 = 36 ✅
🔷 METODE 3: Tabel (Pembagian Bertingkat)
Contoh: Tentukan KPK dari 8, 12, dan 20!
| 8 | 12 | 20 | Pembagi |
|---|---|---|---|
| 4 | 6 | 10 | ÷ 2 |
| 2 | 3 | 5 | ÷ 2 |
| 1 | 3 | 5 | ÷ 3 (karena 3 bisa) |
| 1 | 1 | 5 | ÷ 5 (karena 5 bisa) |
| 1 | 1 | 1 | selesai |
KPK = 2 × 2 × 3 × 5 = 60 ✅
E. PERBANDINGAN FPB DAN KPK
| Aspek | FPB | KPK |
|---|---|---|
| Pengertian | Faktor terbesar yang sama | Kelipatan terkecil yang sama |
| Cara ambil faktor | Pangkat terkecil | Pangkat terbesar |
| Hasil | Lebih kecil atau sama | Lebih besar atau sama |
| Digunakan untuk | Membagi rata (banyak maksimal) | Mencari waktu bersama (bertemu) |
F. SOAL CERITA FPB DAN KPK
📝 SOAL CERITA FPB
Soal 1: Ibu memiliki 24 permen cokelat dan 36 permen stroberi. Permen-permen tersebut akan dibagikan kepada anak-anak dengan jumlah yang sama banyak. Berapa jumlah anak paling banyak yang mendapat permen?
Penyelesaian:
text
Kata kunci: "paling banyak" → cari FPB 24 = 2³ × 3 36 = 2² × 3² FPB = 2² × 3 = 4 × 3 = 12 Jadi, jumlah anak paling banyak adalah 12 orang. Setiap anak mendapat: - Cokelat: 24 : 12 = 2 buah - Stroberi: 36 : 12 = 3 buah
Soal 2: Pak Ahmad memiliki 45 buku tulis dan 60 pensil. Ia ingin membuat paket hadiah yang berisi buku dan pensil dengan jumlah sama di setiap paket. Berapa paket terbanyak yang dapat dibuat?
Penyelesaian:
text
45 = 3² × 5 60 = 2² × 3 × 5 FPB = 3 × 5 = 15 Jadi, Pak Ahmad dapat membuat 15 paket hadiah.
📝 SOAL CERITA KPK
Soal 3: Lampu merah menyala setiap 6 menit, lampu hijau menyala setiap 8 menit. Jika kedua lampu menyala bersama pada pukul 07.00, pukul berapa mereka akan menyala bersama lagi?
Penyelesaian:
text
Kata kunci: "bersama lagi" → cari KPK 6 = 2 × 3 8 = 2³ KPK = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24 menit 07.00 + 24 menit = 07.24 Jadi, kedua lampu akan menyala bersama lagi pada pukul 07.24.
Soal 4: Nina les Matematika setiap 4 hari sekali, sedangkan Sari les Matematika setiap 6 hari sekali. Jika hari ini mereka les bersama, setelah berapa hari mereka les bersama lagi?
Penyelesaian:
text
4 = 2² 6 = 2 × 3 KPK = 2² × 3 = 4 × 3 = 12 Jadi, mereka les bersama lagi setelah 12 hari.
G. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1: Tentukan FPB dari:
- 20 dan 30
- 24 dan 36
- 18, 27, dan 36
- 40 dan 56
- 48, 60, dan 72
✏️ Soal 2: Tentukan KPK dari:
- 8 dan 12
- 15 dan 20
- 6, 9, dan 12
- 16 dan 24
- 10, 15, dan 20
✏️ Soal 3: Soal Cerita FPB
- Bu Guru membagikan 42 buku tulis dan 56 pensil kepada murid-muridnya secara merata. Berapa murid paling banyak yang mendapat buku dan pensil?
- Seorang petani memiliki 24 pohon mangga dan 36 pohon rambutan. Pohon-pohon tersebut akan ditanam dalam barisan dengan jumlah sama setiap baris. Berapa baris paling banyak yang dapat dibuat?
✏️ Soal 4: Soal Cerita KPK
- Dua buah bus berangkat dari terminal bersama pada pukul 06.00. Bus A berangkat setiap 15 menit, Bus B setiap 20 menit. Pukul berapa kedua bus berangkat bersama lagi?
- Ani pergi ke perpustakaan setiap 4 hari, Budi setiap 6 hari. Jika mereka pergi bersama pada tanggal 1 Juni, tanggal berapa mereka pergi bersama lagi?
H. RANGKUMAN
text
┌────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 📌 RINGKASAN │ ├────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ 🔵 FPB = FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR │ │ ├─ Cari faktor yang sama dari semua bilangan │ │ ├─ Ambil yang TERBESAR │ │ └─ Digunakan untuk soal "paling banyak/maksimal" │ │ │ │ 🔴 KPK = KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL │ │ ├─ Cari kelipatan yang sama dari semua bilangan │ │ ├─ Ambil yang TERKECIL │ │ └─ Digunakan untuk soal "bersama/bertemu/kembali" │ │ │ │ 💡 CARA CEPAT: │ │ ├─ Faktorisasi prima → Pohon Faktor │ │ │ FPB = ambil SAMA × pangkat TERKECIL │ │ │ KPK = ambil SEMUA × pangkat TERBESAR │ │ └─ Tabel pembagian bertingkat (lebih praktis) │ │ │ └────────────────────────────────────────────────────────────┘
🎯 KUNCI JAWABAN
Soal 1 (FPB)
| No | Jawaban | No | Jawaban |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 4 | 8 |
| 2 | 12 | 5 | 12 |
| 3 | 9 |
Soal 2 (KPK)
| No | Jawaban | No | Jawaban |
|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 4 | 48 |
| 2 | 60 | 5 | 60 |
| 3 | 36 |
Soal 3 (FPB Cerita)
- 42 dan 56 → FPB = 14 murid
- 24 dan 36 → FPB = 12 baris
Soal 4 (KPK Cerita)
- 15 dan 20 → KPK = 60 menit = 07.00 + 60 menit = 08.00
- 4 dan 6 → KPK = 12 hari = 13 Juni
BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 6
AKAR PANGKAT TIGA
A. PENGERTIAN
1. Pangkat Tiga (Bilangan Kubik)
Pangkat tiga adalah perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri sebanyak 3 kali.
Bentuk umum: a³ = a × a × a
Contoh:
text
2³ = 2 × 2 × 2 = 8 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125
Bilangan kubik adalah hasil dari pangkat tiga suatu bilangan.
2. Akar Pangkat Tiga
Akar pangkat tiga adalah kebalikan (invers) dari pangkat tiga.
Bentuk umum: ³√a = b, jika b³ = a
Contoh:
text
³√8 = 2 (karena 2³ = 8) ³√27 = 3 (karena 3³ = 27) ³√64 = 4 (karena 4³ = 64) ³√125 = 5 (karena 5³ = 125)
📌 Bentuk lain: ³√a dapat ditulis sebagai a^(1/3)
B. TABEL BILANGAN KUBIK DAN AKAR KUBIK
| Bilangan | Pangkat Tiga | Akar Pangkat Tiga |
|---|---|---|
| 1 | 1 | ³√1 = 1 |
| 2 | 8 | ³√8 = 2 |
| 3 | 27 | ³√27 = 3 |
| 4 | 64 | ³√64 = 4 |
| 5 | 125 | ³√125 = 5 |
| 6 | 216 | ³√216 = 6 |
| 7 | 343 | ³√343 = 7 |
| 8 | 512 | ³√512 = 8 |
| 9 | 729 | ³√729 = 9 |
| 10 | 1000 | ³√1000 = 10 |
| 11 | 1331 | ³√1331 = 11 |
| 12 | 1728 | ³√1728 = 12 |
| 13 | 2197 | ³√2197 = 13 |
| 14 | 2744 | ³√2744 = 14 |
| 15 | 3375 | ³√3375 = 15 |
| 16 | 4096 | ³√4096 = 16 |
| 17 | 4913 | ³√4913 = 17 |
| 18 | 5832 | ³√5832 = 18 |
| 19 | 6859 | ³√6859 = 19 |
| 20 | 8000 | ³√8000 = 20 |
C. CARA MENCARI AKAR PANGKAT TIGA
🔷 METODE 1: Menghafal (Bilangan Kecil)
Untuk bilangan kubik kecil (1-1000), hafalkan tabel di atas.
Contoh:
text
³√216 = 6 (karena 6³ = 216) ³√512 = 8 (karena 8³ = 512) ³√729 = 9 (karena 9³ = 729)
🔷 METODE 2: Faktorisasi Prima
Contoh 1: Tentukan ³√1728
Langkah 1: Faktorisasi prima
text
1728 = 2⁶ × 3³
Langkah 2: Akar pangkat tiga → pangkat dibagi 3
text
³√1728 = ³√(2⁶ × 3³)
= 2^(6/3) × 3^(3/3)
= 2² × 3¹
= 4 × 3
= 12 ✅
Contoh 2: Tentukan ³√3375
text
3375 = 3³ × 5³
³√3375 = ³√(3³ × 5³)
= 3 × 5
= 15 ✅
Contoh 3: Tentukan ³√5832
text
5832 = 2³ × 3⁶
³√5832 = ³√(2³ × 3⁶)
= 2^(3/3) × 3^(6/3)
= 2¹ × 3²
= 2 × 9
= 18 ✅
🔷 METODE 3: Tebakan Dua Digit (Bilangan 4-6 Digit)
Contoh: Tentukan ³√42875
Langkah 1: Perhatikan angka terakhir
text
42875 → angka terakhir 5 5³ = 125 → berakhir 5 Jadi, digit terakhir jawaban = 5
Langkah 2: Ambil 3 digit depan (428)
text
Cari bilangan kubik yang mendekati 428 dari bawah 7³ = 343 (terlalu kecil) 8³ = 512 (terlalu besar) Jadi, digit pertama = 7
Langkah 3: Gabungkan
text
Digit pertama = 7 Digit terakhir = 5 Jadi, ³√42875 = 75 ✅
Cek: 75³ = 75 × 75 × 75 = 421.875 ✓
Contoh: Tentukan ³√185193
Langkah 1: Angka terakhir = 3
text
3³ = 27 → berakhir 7 7³ = 343 → berakhir 3 Jadi, digit terakhir = 7 (karena 7³ berakhir 3)
Langkah 2: Tiga digit depan = 185
text
5³ = 125 (terlalu kecil) 6³ = 216 (terlalu besar) Jadi, digit pertama = 5
Hasil: ³√185193 = 57 ✅
Cek: 57³ = 57 × 57 × 57 = 185.193 ✓
🔷 METODE 4: Pohon Faktor (Lebih Terstruktur)
Contoh: Tentukan ³√4096
text
4096 = 2¹²
³√4096 = ³√(2¹²)
= 2^(12/3)
= 2⁴
= 16 ✅
D. OPERASI HITUNG DENGAN AKAR PANGKAT TIGA
1. Penjumlahan dan Pengurangan
Ingat! Hanya bisa dijumlahkan/dikurangkan jika akar sama dan bilangan di dalam akar sama
Contoh:
text
³√8 + ³√27 = 2 + 3 = 5 ✅ ³√27 + ³√27 = 3 + 3 = 6 ✅ ³√8 + ³√64 = 2 + 4 = 6 ✅ ³√125 + ³√8 = 5 + 2 = 7 ✅
2. Perkalian
text
³√a × ³√b = ³√(a × b)
Contoh:
text
³√8 × ³√27 = 2 × 3 = 6 atau ³√8 × ³√27 = ³√(8 × 27) = ³√216 = 6 ✅
3. Pembagian
text
³√a : ³√b = ³√(a : b)
Contoh:
text
³√512 : ³√64 = 8 : 4 = 2 atau ³√512 : ³√64 = ³√(512 : 64) = ³√8 = 2 ✅
4. Operasi Campuran
Contoh: ³√125 + ³√64 × ³√27 = …
text
³√125 + ³√64 × ³√27 = 5 + 4 × 3 (kerjakan akar dulu) = 5 + 12 (perkalian dulu) = 17 (baru penjumlahan) ✅
E. SOAL CERITA
Soal 1: Sebuah bak mandi berbentuk kubus memiliki volume 4.096 liter. Berapa panjang rusuk bak mandi tersebut?
Penyelesaian:
text
Volume kubus = s × s × s = s³ s³ = 4.096 s = ³√4.096 = 16 Jadi, panjang rusuk bak mandi = 16 dm = 1,6 meter ✅
Soal 2: Sebuah kotak mainan berbentuk kubus memiliki volume 3.375 cm³. Berapa panjang sisi kotak mainan tersebut?
Penyelesaian:
text
s³ = 3.375 s = ³√3.375 = 15 Jadi, panjang sisi kotak = 15 cm ✅
Soal 3: Volume sebuah kubus sama dengan volume balok berukuran 27 cm × 18 cm × 12 cm. Berapa panjang rusuk kubus tersebut?
Penyelesaian:
text
Volume balok = 27 × 18 × 12 = 5.832 cm³ Volume kubus = Volume balok s³ = 5.832 s = ³√5.832 = 18 Jadi, panjang rusuk kubus = 18 cm ✅
F. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1: Tentukan hasil akar pangkat tiga berikut!
| No | Soal | Jawaban |
|---|---|---|
| 1 | ³√1 | … |
| 2 | ³√64 | … |
| 3 | ³√343 | … |
| 4 | ³√1000 | … |
| 5 | ³√2197 | … |
| 6 | ³√4096 | … |
| 7 | ³√6859 | … |
| 8 | ³√9261 | … |
| 9 | ³√15625 | … |
| 10 | ³√32768 | … |
✏️ Soal 2: Hitunglah operasi berikut!
- ³√8 + ³√27 = …
- ³√125 – ³√64 = …
- ³√216 × ³√8 = …
- ³√1000 : ³√125 = …
- ³√512 + ³√729 – ³√343 = …
- ³√27 × ³√64 : ³√8 = …
- ³√125 + ³√216 – ³√27 = …
- ³√4096 : ³√64 × ³√27 = …
✏️ Soal 3: Soal Cerita
- Sebuah kubus memiliki volume 13.824 cm³. Berapa panjang rusuknya?
- Volume sebuah kubus adalah 46.656 cm³. Tentukan panjang sisi kubus tersebut!
- Sebuah bak mandi berbentuk kubus dapat menampung air 17.576 liter. Berapa dm panjang rusuk bak mandi tersebut?
- Sebuah kotak kado berbentuk kubus memiliki volume 19.683 cm³. Jika kotak tersebut akan dibungkus kertas, berapa cm panjang sisi kotak?
- Volume sebuah kubus 2.197 cm³. Berapa cm panjang rusuk kubus tersebut?
G. RANGKUMAN
text
┌────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 📌 RINGKASAN AKAR PANGKAT TIGA │ ├────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ 🔵 PANGKAT TIGA (Bilangan Kubik) │ │ a³ = a × a × a │ │ Contoh: 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 │ │ │ │ 🔴 AKAR PANGKAT TIGA │ │ ³√a = b, jika b³ = a │ │ Contoh: ³√125 = 5, karena 5³ = 125 │ │ │ │ 💡 CARA CEPAT MENGHITUNG: │ │ ├─ Untuk 1-1000: Hafalkan tabel │ │ ├─ Untuk >1000: Gunakan faktorisasi prima │ │ └─ Untuk 4-6 digit: Tebakan 2 digit (lihat akhir) │ │ │ │ 💡 TIPS: │ │ ├─ Akar pangkat tiga = kebalikan pangkat tiga │ │ ├─ ³√(a³) = a │ │ └─ (³√a)³ = a │ │ │ └────────────────────────────────────────────────────────────┘
🎯 KUNCI JAWABAN
Soal 1
| No | Jawaban | No | Jawaban |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 6 | 16 |
| 2 | 4 | 7 | 19 |
| 3 | 7 | 8 | 21 |
| 4 | 10 | 9 | 25 |
| 5 | 13 | 10 | 32 |
Soal 2
- 2 + 3 = 5
- 5 – 4 = 1
- 6 × 2 = 12
- 10 : 5 = 2
- 8 + 9 – 7 = 10
- 3 × 4 : 2 = 6
- 5 + 6 – 3 = 8
- 16 : 4 × 3 = 12
Soal 3 (Cerita)
- ³√13.824 = 24 cm
- ³√46.656 = 36 cm
- ³√17.576 = 26 dm
- ³√19.683 = 27 cm
- ³√2.197 = 13 cm
SATUAN VOLUME DAN DEBIT
A. SATUAN VOLUME
1. Pengertian Volume
Volume adalah ukuran besar ruang yang dapat ditempati oleh suatu benda atau zat cair.
2. Tangga Satuan Volume (Kubik)
text
km³
↓ (× 1.000)
hm³
↓ (× 1.000)
dam³
↓ (× 1.000)
m³
↓ (× 1.000)
dm³
↓ (× 1.000)
cm³
↓ (× 1.000)
mm³
Setiap turun 1 tangga → × 1.000
Setiap naik 1 tangga → : 1.000
📌 Kunci: Satuan volume kubik (³) selalu × 1.000 atau : 1.000 per tangga.
3. Tangga Satuan Volume (Liter)
text
kL (kiloliter)
↓ (× 10)
hL (hektoliter)
↓ (× 10)
daL (dekaliter)
↓ (× 10)
L (liter)
↓ (× 10)
dL (desiliter)
↓ (× 10)
cL (sentiliter)
↓ (× 10)
mL (mililiter)
Setiap turun 1 tangga → × 10
Setiap naik 1 tangga → : 10
4. Hubungan Satuan Kubik dan Liter
| Satuan Kubik | Satuan Liter |
|---|---|
| 1 m³ | = 1.000 dm³ = 1.000 L |
| 1 dm³ | = 1 L |
| 1 cm³ | = 1 mL |
| 1 L | = 1 dm³ = 1.000 cm³ |
| 1 mL | = 1 cm³ |
5. Konversi Satuan Volume
Contoh Konversi Satuan Kubik:
| Konversi | Cara | Hasil |
|---|---|---|
| 2 m³ = … cm³ | 2 × 1.000 × 1.000 | 2.000.000 cm³ |
| 5.000 dm³ = … m³ | 5.000 : 1.000 | 5 m³ |
| 3 dam³ = … m³ | 3 × 1.000 | 3.000 m³ |
| 12.000.000 cm³ = … m³ | 12.000.000 : 1.000.000 | 12 m³ |
Contoh Konversi Liter:
| Konversi | Cara | Hasil |
|---|---|---|
| 3 L = … mL | 3 × 1.000 | 3.000 mL |
| 5 kL = … L | 5 × 1.000 | 5.000 L |
| 2.500 mL = … L | 2.500 : 1.000 | 2,5 L |
| 7 L = … cL | 7 × 100 | 700 cL |
Contoh Soal Konversi Campuran:
Soal 1: 4 m³ = … L
text
4 m³ = 4 × 1.000 dm³ = 4.000 dm³ 4.000 dm³ = 4.000 L Jadi, 4 m³ = 4.000 L ✅
Soal 2: 2,5 L = … cm³
text
2,5 L = 2,5 × 1.000 mL = 2.500 mL 2.500 mL = 2.500 cm³ Jadi, 2,5 L = 2.500 cm³ ✅
Soal 3: 7.500 mL = … dm³
text
7.500 mL = 7.500 cm³ 7.500 cm³ = 7.500 : 1.000 = 7,5 dm³ Jadi, 7.500 mL = 7,5 dm³ ✅
Soal 4: 0,05 m³ = … L
text
0,05 m³ = 0,05 × 1.000 dm³ = 50 dm³ 50 dm³ = 50 L Jadi, 0,05 m³ = 50 L ✅
B. DEBIT
1. Pengertian Debit
Debit adalah volume zat cair yang mengalir tiap satuan waktu.
📌 Rumus Dasar:
Debit = Volume : Waktu
atau
D = V : t
2. Rumus Turunan
| Rumus | Simbol | Satuan |
|---|---|---|
| D = V : t | Debit = Volume ÷ Waktu | L/detik, m³/jam, dll |
| V = D × t | Volume = Debit × Waktu | L, m³, dll |
| t = V : D | Waktu = Volume ÷ Debit | detik, jam, menit, dll |
3. Satuan Debit
| Satuan Debit | Keterangan |
|---|---|
| L/detik | Liter per detik |
| L/menit | Liter per menit |
| m³/jam | Meter kubik per jam |
| mL/detik | Mililiter per detik |
4. Contoh Soal Debit
📝 Contoh 1: Mencari Debit
Soal: Air mengalir dari keran sebanyak 120 liter dalam waktu 2 menit. Berapa debit air tersebut?
Penyelesaian:
text
Diketahui: V = 120 liter t = 2 menit Ditanya: D = ...? D = V : t D = 120 : 2 D = 60 liter/menit Jadi, debit air = 60 L/menit ✅
📝 Contoh 2: Mencari Volume
Soal: Sebuah pompa air memiliki debit 25 L/menit. Berapa volume air yang dapat dialirkan selama 8 menit?
Penyelesaian:
text
Diketahui: D = 25 L/menit t = 8 menit Ditanya: V = ...? V = D × t V = 25 × 8 V = 200 liter Jadi, volume air yang dialirkan = 200 L ✅
📝 Contoh 3: Mencari Waktu
Soal: Sebuah tangki berisi 800 liter air. Air tersebut dialirkan dengan debit 40 L/menit. Berapa lama waktu yang dibutuhkan hingga tangki kosong?
Penyelesaian:
text
Diketahui: V = 800 L D = 40 L/menit Ditanya: t = ...? t = V : D t = 800 : 40 t = 20 menit Jadi, waktu yang dibutuhkan = 20 menit ✅
📝 Contoh 4: Debit dengan Satuan Berbeda
Soal: Sebuah selang mengalirkan air 15.000 mL dalam waktu 10 menit. Berapa debitnya dalam L/detik?
Penyelesaian:
text
Langkah 1: Ubah satuan volume ke liter 15.000 mL = 15.000 : 1.000 = 15 L Langkah 2: Ubah satuan waktu ke detik 10 menit = 10 × 60 = 600 detik Langkah 3: Hitung debit D = V : t D = 15 : 600 D = 0,025 L/detik Jadi, debit = 0,025 L/detik ✅
📝 Contoh 5: Soal Cerita (Mengisi Bak)
Soal: Sebuah bak mandi berbentuk balok dengan ukuran panjang 60 cm, lebar 40 cm, dan tinggi 50 cm akan diisi air menggunakan selang dengan debit 4 L/menit. Berapa menit waktu yang diperlukan untuk mengisi bak hingga penuh?
Penyelesaian:
text
Langkah 1: Cari volume bak (dalam cm³) V = p × l × t V = 60 × 40 × 50 = 120.000 cm³ Langkah 2: Ubah volume ke liter 120.000 cm³ = 120.000 : 1.000 = 120 dm³ = 120 L Langkah 3: Hitung waktu t = V : D t = 120 : 4 = 30 menit Jadi, waktu yang diperlukan = 30 menit ✅
📝 Contoh 6: Soal Cerita (Kebocoran)
Soal: Sebuah penampungan air berbentuk kubus dengan panjang rusuk 80 cm. Air di dalamnya bocor dengan debit 128 L/jam. Berapa jam waktu yang diperlukan hingga air habis?
Penyelesaian:
text
Langkah 1: Cari volume kubus V = s³ = 80 × 80 × 80 = 512.000 cm³ Langkah 2: Ubah volume ke liter 512.000 cm³ = 512.000 : 1.000 = 512 dm³ = 512 L Langkah 3: Hitung waktu t = V : D t = 512 : 128 = 4 jam Jadi, air akan habis dalam 4 jam ✅
C. KONVERSI DEBIT
Cara Konversi Debit
Contoh 1: 3 m³/jam = … L/menit
text
3 m³/jam = 3 × 1.000 L/jam = 3.000 L/jam 3.000 L/jam = 3.000 : 60 L/menit = 50 L/menit Jadi, 3 m³/jam = 50 L/menit ✅
Contoh 2: 120 L/menit = … mL/detik
text
120 L/menit = 120 × 1.000 mL/menit = 120.000 mL/menit 120.000 mL/menit = 120.000 : 60 mL/detik = 2.000 mL/detik Jadi, 120 L/menit = 2.000 mL/detik ✅
Contoh 3: 5 L/detik = … L/jam
text
5 L/detik = 5 × 60 L/menit = 300 L/menit 300 L/menit = 300 × 60 L/jam = 18.000 L/jam Jadi, 5 L/detik = 18.000 L/jam ✅
D. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1: Konversi Satuan Volume
- 5 m³ = … dm³
- 7.000 cm³ = … dm³
- 3 dm³ = … mL
- 2,5 L = … mL
- 4.500 mL = … L
- 0,75 m³ = … L
- 12.000.000 cm³ = … m³
- 2.500 L = … m³
- 6 kL = … L
- 3.200 mL = … L
✏️ Soal 2: Konversi Satuan Debit
- 5 L/menit = … mL/menit
- 3.000 L/jam = … L/menit
- 2 L/detik = … L/menit
- 180 L/menit = … L/detik
- 4 m³/jam = … L/menit
- 1,5 L/detik = … mL/detik
- 7.200 L/jam = … L/detik
- 250 mL/detik = … L/detik
✏️ Soal 3: Menghitung Debit
- Sebuah keran mengalirkan 240 liter air dalam waktu 4 menit. Berapa debit keran tersebut?
- Air terjun mengalirkan 3.600 liter air dalam 1 jam. Berapa debit air terjun dalam L/menit?
- Sebuah selang mengalirkan 90 liter air dalam
LUAS BANGUN DATAR
A. PENGERTIAN
Bangun datar adalah bangun yang memiliki dimensi panjang dan lebar (2 dimensi) dan tidak memiliki ketebalan.
Luas adalah besarnya daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun datar.
📌 Satuan luas: mm², cm², dm², m², dam², hm², km², are, hektar, dll.
B. TANGGA SATUAN LUAS
text
km² (hektar)
↓ (× 100)
hm² (hektar)
↓ (× 100)
dam² (are)
↓ (× 100)
m²
↓ (× 100)
dm²
↓ (× 100)
cm²
↓ (× 100)
mm²
Setiap turun 1 tangga → × 100
Setiap naik 1 tangga → : 100
Satuan Khusus:
- 1 hektar (ha) = 10.000 m²
- 1 are = 100 m²
C. RUMUS LUAS BANGUN DATAR
1. PERSEGI
text
s
┌──────┐
│ │ s
└──────┘
Luas = s × s = s²
Keliling = 4 × s
Keterangan: s = sisi
Contoh:
Hitunglah luas persegi dengan sisi 8 cm!
text
L = s × s L = 8 × 8 = 64 cm² ✅
2. PERSEGI PANJANG
text
p
┌──────────┐
│ │ l
└──────────┘
Luas = p × l
Keliling = 2 × (p + l)
Keterangan: p = panjang, l = lebar
Contoh:
Hitunglah luas persegi panjang dengan panjang 12 cm dan lebar 5 cm!
text
L = p × l L = 12 × 5 = 60 cm² ✅
3. SEGITIGA
text
A
/|\
/ | \ t
/ | \
B───┴───C
a
Luas = ½ × a × t
Keliling = a + b + c
Keterangan: a = alas, t = tinggi
Contoh:
Hitunglah luas segitiga dengan alas 14 cm dan tinggi 6 cm!
text
L = ½ × a × t L = ½ × 14 × 6 L = ½ × 84 = 42 cm² ✅
4. JAJAR GENJANG
text
a
┌──────────┐
/│ /│ t
/ │ / │
└──┴─────────┘
a
Luas = a × t
Keliling = 2 × (a + b)
Keterangan: a = alas, t = tinggi, b = sisi miring
Contoh:
Hitunglah luas jajar genjang dengan alas 15 cm dan tinggi 8 cm!
text
L = a × t L = 15 × 8 = 120 cm² ✅
5. BELAH KETUPAT
text
d₁
┌──────┐
/│ │\
/ │ │ \
/ │ │ \
/ │ │ \
/ │ │ \
└─────┘ └─────┘
d₂
Luas = ½ × d₁ × d₂
Keliling = 4 × s
Keterangan: d₁ = diagonal 1, d₂ = diagonal 2
Contoh:
Hitunglah luas belah ketupat dengan diagonal 18 cm dan 12 cm!
text
L = ½ × d₁ × d₂ L = ½ × 18 × 12 L = ½ × 216 = 108 cm² ✅
6. LAYANG-LAYANG
text
d₁
┌──────┐
/│ │\
/ │ │ \
/ │ │ \
/ │ │ \
/ │ │ \
└─────┘ └─────┘
d₂
Luas = ½ × d₁ × d₂
Keliling = 2 × (a + b)
Keterangan: d₁ = diagonal 1, d₂ = diagonal 2
Contoh:
Hitunglah luas layang-layang dengan diagonal 20 cm dan 14 cm!
text
L = ½ × d₁ × d₂ L = ½ × 20 × 14 L = ½ × 280 = 140 cm² ✅
7. TRAPESIUM
text
a
┌──────────┐
/│ /│ t
/ │ / │
└──┴─────────┘
b
Luas = ½ × (a + b) × t
Keliling = a + b + c + d
Keterangan: a = sisi sejajar atas, b = sisi sejajar bawah, t = tinggi
Contoh:
Hitunglah luas trapesium dengan sisi sejajar 10 cm dan 16 cm, tinggi 8 cm!
text
L = ½ × (a + b) × t L = ½ × (10 + 16) × 8 L = ½ × 26 × 8 L = ½ × 208 = 104 cm² ✅
8. LINGKARAN
text
⭕
/ \
| r |
\ /
⭕
Luas = π × r²
Keliling = 2 × π × r = π × d
Keterangan:
r = jari-jari
d = diameter (d = 2 × r)
π = 22/7 atau 3,14
Tips memilih π:
- Jika r atau d kelipatan 7 → gunakan 22/7
- Jika r atau d bukan kelipatan 7 → gunakan 3,14
Contoh:
Hitunglah luas lingkaran dengan jari-jari 7 cm!
text
L = π × r² L = 22/7 × 7 × 7 L = 22 × 7 = 154 cm² ✅
Contoh 2:
Hitunglah luas lingkaran dengan diameter 20 cm!
text
r = d : 2 = 20 : 2 = 10 cm L = π × r² L = 3,14 × 10 × 10 L = 3,14 × 100 = 314 cm² ✅
D. PERBANDINGAN RUMUS
| Bangun Datar | Rumus Luas | Rumus Keliling |
|---|---|---|
| Persegi | s × s | 4 × s |
| Persegi Panjang | p × l | 2 × (p + l) |
| Segitiga | ½ × a × t | a + b + c |
| Jajar Genjang | a × t | 2 × (a + b) |
| Belah Ketupat | ½ × d₁ × d₂ | 4 × s |
| Layang-layang | ½ × d₁ × d₂ | 2 × (a + b) |
| Trapesium | ½ × (a + b) × t | a + b + c + d |
| Lingkaran | π × r² | 2 × π × r |
E. SOAL CERITA
Soal 1:
Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 25 m dan lebar 15 m. Di tengah taman terdapat kolam berbentuk lingkaran dengan diameter 7 m. Berapa luas taman yang tidak terkena kolam?
Penyelesaian:
text
Luas taman = p × l = 25 × 15 = 375 m² Jari-jari kolam = 7 : 2 = 3,5 m Luas kolam = π × r² = 22/7 × 3,5 × 3,5 Luas kolam = 22/7 × 12,25 = 38,5 m² Luas taman tanpa kolam = 375 - 38,5 = 336,5 m² ✅
Soal 2:
Sebuah layang-layang memiliki diagonal 24 cm dan 16 cm. Berapa luas layang-layang tersebut?
Penyelesaian:
text
L = ½ × d₁ × d₂ L = ½ × 24 × 16 L = ½ × 384 = 192 cm² ✅
Soal 3:
Sawah Pak Budi berbentuk trapesium dengan panjang sisi sejajar 30 m dan 18 m, jarak kedua sisi sejajar 12 m. Berapa luas sawah Pak Budi?
Penyelesaian:
text
L = ½ × (a + b) × t L = ½ × (30 + 18) × 12 L = ½ × 48 × 12 L = 24 × 12 = 288 m² ✅
Soal 4:
Sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang dengan panjang 12 m dan lebar 8 m. Di sekeliling kolam akan dipasang keramik dengan lebar 1 m. Berapa luas keramik yang dibutuhkan?
Penyelesaian:
text
Luas seluruh (kolam + keramik): p = 12 + 2 = 14 m l = 8 + 2 = 10 m L_total = 14 × 10 = 140 m² Luas kolam = 12 × 8 = 96 m² Luas keramik = 140 - 96 = 44 m² ✅
F. LUAS GABUNGAN BANGUN DATAR
Cara Menghitung Luas Gabungan:
- Identifikasi bangun-bangun yang membentuk gabungan
- Hitung luas masing-masing bangun
- Jumlahkan semua luas (untuk bangun yang digabung)
- Kurangkan (untuk bangun yang berlubang/tidak termasuk)
Contoh 1:
Hitunglah luas bangun di bawah ini!
text
┌─────────────┐
│ │
│ Persegi │ 8 cm
│ Panjang │
├──────┬──────┤
│ │ │
PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA
A. PENGERTIAN DATA
Data adalah kumpulan informasi atau keterangan yang diperoleh dari suatu pengamatan atau penelitian.
Contoh data:
- Data tinggi badan siswa
- Data nilai ulangan matematika
- Data jumlah pengunjung perpustakaan
- Data jenis makanan favorit
B. PENGUMPULAN DATA
1. Sumber Data
Data dapat diperoleh dari:
| Sumber Data | Contoh |
|---|---|
| Wawancara | Bertanya langsung kepada narasumber |
| Angket/Kuesioner | Memberikan daftar pertanyaan tertulis |
| Observasi | Mengamati langsung suatu kejadian |
| Dokumentasi | Mengambil data dari dokumen yang ada |
| Tes/Ulangan | Mengumpulkan nilai dari hasil tes |
2. Cara Menyajikan Data
Data dapat disajikan dalam bentuk:
- Tabel (tabel frekuensi, tabel distribusi)
- Diagram (diagram batang, diagram lingkaran, diagram garis)
- Piktogram (gambar)
C. TABEL FREKUENSI
Tabel frekuensi adalah tabel yang menunjukkan seberapa sering (frekuensi) suatu data muncul.
Contoh:
Data nilai ulangan matematika 20 siswa:
text
70, 80, 85, 70, 90, 75, 80, 85, 70, 80, 90, 85, 75, 80, 85, 70, 80, 90, 85, 80
Langkah membuat tabel frekuensi:
- Urutkan data dari terkecil ke terbesar
- Hitung frekuensi (jumlah) setiap nilai
| Nilai | Turus | Frekuensi |
|---|---|---|
| 70 | IIII | 4 |
| 75 | II | 2 |
| 80 | IIII I | 6 |
| 85 | IIII | 5 |
| 90 | III | 3 |
| Jumlah | 20 |
D. DIAGRAM BATANG
Diagram batang adalah penyajian data menggunakan batang-batang (persegi panjang) yang tingginya menunjukkan frekuensi.
Ciri-ciri:
- Sumbu vertikal (Y) = frekuensi
- Sumbu horizontal (X) = kategori data
- Batang dapat vertikal atau horizontal
Contoh:
Data nilai ulangan matematika:
text
Frekuensi
7 ┤ █
6 ┤ █
5 ┤ █ █ █
4 ┤ █ █ █ █
3 ┤ █ █ █ █ █
2 ┤ █ █ █ █ █
1 ┤ █ █ █ █ █
0 ┼──┴──┴────┴────┴────┴──
70 75 80 85 90
Nilai
E. DIAGRAM LINGKARAN
Diagram lingkaran adalah penyajian data menggunakan lingkaran yang dibagi menjadi juring-juring (potongan) sesuai proporsi data.
Cara Menghitung Sudut:
Rumus:
Sudut = (Frekuensi / Total Data) × 360°
Contoh:
Data hobi 36 siswa:
| Hobi | Frekuensi | Sudut |
|---|---|---|
| Membaca | 6 | (6/36) × 360° = 60° |
| Olahraga | 12 | (12/36) × 360° = 120° |
| Musik | 9 | (9/36) × 360° = 90° |
| Melukis | 9 | (9/36) × 360° = 90° |
| Total | 36 | 360° |
text
Olahraga
120°
████████
██ ██
█ █
█ Musik 90° █
█ █ Membaca 60°
█ █
██ ██
████████
Melukis
90°
Cara Menghitung Persentase:
Rumus:
Persentase = (Frekuensi / Total Data) × 100%
| Hobi | Frekuensi | Persentase |
|---|---|---|
| Membaca | 6 | (6/36) × 100% = 16,67% |
| Olahraga | 12 | (12/36) × 100% = 33,33% |
| Musik | 9 | (9/36) × 100% = 25% |
| Melukis | 9 | (9/36) × 100% = 25% |
| Total | 36 | 100% |
F. DIAGRAM GARIS
Diagram garis adalah penyajian data menggunakan titik-titik yang dihubungkan dengan garis lurus.
Kegunaan:
- Menunjukkan perubahan data dari waktu ke waktu
- Menunjukkan tren (kecenderungan)
Contoh:
Data suhu harian selama 7 hari:
| Hari | Senin | Selasa | Rabu | Kamis | Jumat | Sabtu | Minggu |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Suhu | 28°C | 30°C | 29°C | 31°C | 30°C | 32°C | 31°C |
text
Suhu
32 ┤ ●
31 ┤ ● ● ●
30 ┤ ● ●
29 ┤ ●
28 ┤ ●
┼───┴───┴───┴───┴───┴───┴───
S S R K J S M
G. PIKTOGRAM
Piktogram adalah penyajian data menggunakan gambar atau simbol yang mewakili nilai tertentu.
Contoh:
Jumlah siswa di 4 kelas:
| Kelas | Siswa | Piktogram |
|---|---|---|
| 6A | 30 | 🧑🧑🧑🧑🧑🧑 |
| 6B | 25 | 🧑🧑🧑🧑🧑 |
| 6C | 28 | 🧑🧑🧑🧑🧑🧑 |
| 6D | 27 | 🧑🧑🧑🧑🧑🧑 |
Keterangan: 🧑 = 5 siswa
H. PENGOLAHAN DATA
1. NILAI TERKECIL DAN TERBESAR
Contoh: Data: 45, 60, 55, 70, 65, 50, 80, 75, 55, 60
text
Nilai terkecil = 45 Nilai terbesar = 80
2. JUMLAH DATA
Jumlah data adalah total seluruh nilai data.
text
Jumlah = 45 + 60 + 55 + 70 + 65 + 50 + 80 + 75 + 55 + 60 Jumlah = 615
3. RATA-RATA (MEAN)
Rumus Rata-rata:
Mean = Jumlah seluruh data : Banyak datax̄ = Σx : n
Contoh:
Data: 45, 60, 55, 70, 65, 50, 80, 75, 55, 60
text
Jumlah data = 615 Banyak data = 10 Mean = 615 : 10 = 61,5 ✅
4. MEDIAN (NILAI TENGAH)
Median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
Untuk data ganjil:
Contoh: Data: 5, 7, 8, 9, 12
text
Data diurutkan: 5, 7, 8, 9, 12 Median = nilai ke-(n+1)/2 Median = nilai ke-3 = 8 ✅
Untuk data genap:
Contoh: Data: 5, 6, 7, 8, 9, 12
text
Data diurutkan: 5, 6, 7, 8, 9, 12 Median = (data ke n/2 + data ke (n/2 + 1)) : 2 Median = (7 + 8) : 2 = 7,5 ✅
5. MODUS (NILAI YANG SERING MUNCUL)
Modus adalah data yang paling sering muncul (frekuensi tertinggi).
Contoh:
Data: 45, 60, 55, 70, 65, 50, 80, 75, 55, 60
text
45 muncul 1 kali 50 muncul 1 kali 55 muncul 2 kali ← modus (muncul paling banyak) 60 muncul 2 kali ← modus 65 muncul 1 kali 70 muncul 1 kali 75 muncul 1 kali 80 muncul 1 kali Modus = 55 dan 60 (memiliki 2 modus) ✅
Catatan:
- Jika satu nilai yang paling sering muncul → Unimodal
- Jika dua nilai yang paling sering muncul → Bimodal
- Jika semua nilai sama frekuensinya → Tidak ada modus
I. CONTOH SOAL LENGKAP
📝 Contoh 1: Data Nilai
Data nilai ulangan matematika 10 siswa:
text
65, 70, 75, 80, 85, 70, 75, 80, 85, 90
Tentukan:
- Tabel frekuensi
- Nilai tertinggi dan terendah
- Rata-rata
- Median
- Modus
Penyelesaian:
1. Tabel Frekuensi:
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 65 | 1 |
| 70 | 2 |
| 75 | 2 |
| 80 | 2 |
| 85 | 2 |
| 90 | 1 |
| Total | 10 |
2. Nilai tertinggi = 90, nilai terendah = 65
3. Rata-rata:
text
Jumlah = 65 + 70 + 75 + 80 + 85 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 = 775 Mean = 775 : 10 = 77,5 ✅
4. Median:
text
Data diurutkan: 65, 70, 70, 75, 75, 80, 80, 85, 85, 90 Median = (75 + 80) : 2 = 77,5 ✅
5. Modus:
text
70 muncul 2 kali 75 muncul 2 kali 80 muncul 2 kali 85 muncul 2 kali Modus = 70, 75, 80, 85 (Bimodal) ✅
📝 Contoh 2: Data Berat Badan
Data berat badan (kg) 12 siswa:
text
32, 35, 30, 34, 32, 33, 35, 32, 34, 33, 35, 34
Tentukan rata-rata, median, dan modus!
Penyelesaian:
1. Rata-rata:
text
Jumlah = 32+35+30+34+32+33+35+32+34+33+35+34 = 399 Mean = 399 : 12 = 33,25 kg ✅
2. Median:
text
Data diurutkan: 30, 32, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 34, 35, 35, 35 Median = (33 + 34) : 2 = 33,5 kg ✅
3. Modus:
text
32 muncul 3 kali 33 muncul 2 kali 34 muncul 3 kali 35 muncul 3 kali Modus = 32, 34, dan 35 ✅
J. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1: Tabel Frekuensi
Data nilai ulangan IPA 15 siswa:
text
60, 75, 80, 70, 85, 60, 75, 80, 90, 70, 75, 80, 85, 70, 75
Buatlah tabel frekuensi dari data tersebut!
✏️ Soal 2: Diagram Batang
Dari tabel frekuensi di atas, gambarkan diagram batang!
✏️ Soal 3: Diagram Lingkaran
Data pekerjaan orang tua siswa kelas 6:
| Pekerjaan | Jumlah |
|---|---|
| Petani | 10 |
| Guru | 8 |
| Pedagang | 12 |
| Swasta | 10 |
Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut!
(Hitung sudut dan persentase masing-masing)
✏️ Soal 4: Menentukan Rata-rata, Median, Modus
Data tinggi badan (cm) 8 siswa:
text
145, 150, 148, 152, 150, 147, 151, 149
Tentukan:
- Jumlah data
- Rata-rata (mean)
- Median
- Modus
✏️ Soal 5: Menentukan Rata-rata, Median, Modus
Data nilai ulangan matematika 12 siswa:
text
80, 75, 90, 85, 70, 85, 80, 75, 90, 85, 80, 75
Tentukan:
- Jumlah data
- Rata-rata (mean)
- Median
- Modus
✏️ Soal 6: Soal Cerita
- Data nilai ulangan IPA 8 siswa adalah 70, 80, 75, 85, 70, 80, 90, 75. Berapa rata-rata nilai mereka?
- Seorang petani mencatat hasil panen (kg) selama 7 hari:
text
25, 30, 28, 32, 30, 35, 28
Berapa rata-rata hasil panen per hari?
- Suhu di kota A selama 5 hari:
text
28°C, 30°C, 29°C, 31°C, 30°C
Tentukan rata-rata suhu selama 5 hari!
- Dari data nomor 3, tentukan median dan modusnya!
K. RANGKUMAN
text
┌────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 📌 RINGKASAN PENGOLAHAN DATA │ ├────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ 🔵 JENIS PENYAJIAN DATA: │ │ ├─ Tabel Frekuensi (mengelompokkan data) │ │ ├─ Diagram Batang (membandingkan kategori) │ │ ├─ Diagram Lingkaran (menunjukkan proporsi) │ │ ├─ Diagram Garis (menunjukkan perubahan/trend) │ │ └─ Piktogram (menggunakan gambar) │ │ │ │ 🔴 UKURAN PEMUSATAN DATA: │ │ ├─ MEAN (Rata-rata) = Jumlah data : Banyak data │ │ ├─ MEDIAN (Nilai tengah) │ │ │ • Data ganjil = nilai ke (n+1)/2 │ │ │ • Data genap = (data ke n/2 + data ke (n/2+1)) : 2 │ │ └─ MODUS (Nilai yang paling sering muncul) │ │ │ │ 💡 TIPS: │ │ ├─ Urutkan data dulu untuk mencari median │ │ ├─ Hitung frekuensi untuk mencari modus │ │ └─ Pastikan jumlah total benar sebelum menghitung mean │ │ │ └────────────────────────────────────────────────────────────┘
🎯 KUNCI JAWABAN
Soal 1 (Tabel Frekuensi)
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 70 | 3 |
| 75 | 4 |
| 80 | 3 |
| 85 | 2 |
| 90 | 1 |
| Total | 15 |
Soal 3 (Diagram Lingkaran)
| Pekerjaan | Jumlah | Sudut | Persentase |
|---|---|---|---|
| Petani | 10 | 90° | 25% |
| Guru | 8 | 72° | 20% |
| Pedagang | 12 | 108° | 30% |
| Swasta | 10 | 90° | 25% |
| Total | 40 | 360° | 100% |
Soal 4
- Jumlah = 145+150+148+152+150+147+151+149 = 1.192 cm
- Mean = 1.192 : 8 = 149 cm
- Median: 145,147,148,149,150,150,151,152 → (149+150):2 = 149,5 cm
- Modus = 150 cm (muncul 2 kali)
Soal 5
- Jumlah = 80+75+90+85+70+85+80+75+90+85+80+75 = 970
- Mean = 970 : 12 = 80,83
- Median: 70,75,75,75,80,80,80,85,85,85,90,90 → (80+80):2 = 80
- Modus = 75, 80, dan 85 (masing-masing muncul 3 kali)
Soal 6 (Cerita)
- Jumlah = 70+80+75+85+70+80+90+75 = 625, Mean = 625:8 = 78,125
- Jumlah = 25+30+28+32+30+35+28 = 208, Mean = 208:7 ≈ 29,71 kg
- Jumlah = 28+30+29+31+30 = 148, Mean = 148:5 = 29,6°C
- Median: 28,29,30,30,31 → 30°C, Modus = 30°C
Semoga bermanfaat! Terus berlatih dan jangan bosan belajar! 📚😊
SISTEM KOORDINAT
A. PENGERTIAN SISTEM KOORDINAT
Sistem koordinat Kartesius adalah sistem untuk menentukan posisi suatu titik pada bidang datar menggunakan dua garis bilangan yang saling tegak lurus.
📌 Ditemukan oleh: René Descartes (ahli matematika Prancis)
B. BAGIAN-BAGIAN SISTEM KOORDINAT
text
Sumbu Y (Vertikal)
↑
5 │
4 │
3 │
2 │
1 │
────────────────┼───────────────→ Sumbu X (Horizontal)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1 │
-2 │
-3 │
-4 │
-5 │
│
Titik Pusat (0,0)
Komponen Sistem Koordinat:
| Komponen | Keterangan |
|---|---|
| Sumbu X | Garis horizontal (mendatar) |
| Sumbu Y | Garis vertikal (tegak) |
| Titik O (0,0) | Titik pusat/pertemuan sumbu X dan Y |
| Kuadran | 4 bagian yang terbentuk dari perpotongan sumbu |
C. KUADRAN
text
Kuadran II │ Kuadran I
(-, +) │ (+, +)
│
─────────────────┼─────────────────
│
Kuadran III │ Kuadran IV
(-, -) │ (+,-)
│
| Kuadran | Sumbu X | Sumbu Y | Contoh Titik |
|---|---|---|---|
| I | Positif (+) | Positif (+) | (3, 2) |
| II | Negatif (-) | Positif (+) | (-3, 2) |
| III | Negatif (-) | Negatif (-) | (-3, -2) |
| IV | Positif (+) | Negatif (-) | (3, -2) |
D. MENULISKAN KOORDINAT TITIK
Format Penulisan:
text
(x, y)
↑ ↑
absis ordinat
x = jarak dari sumbu Y (horizontal)
y = jarak dari sumbu X (vertikal)
Aturan:
- x positif → ke kanan dari titik O
- x negatif → ke kiri dari titik O
- y positif → ke atas dari titik O
- y negatif → ke bawah dari titik O
Contoh 1: Menentukan Koordinat Titik
text
Y
↑
5 │
4 │ A(4,3)
3 │ ●
2 │
1 │
────────────┼─────────────→ X
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1 │
B(-3,-2)● -2 │
-3 │
-4 │
-5 │
│
Titik A: x = 4, y = 3 → A(4, 3)
Titik B: x = -3, y = -2 → B(-3, -2)
Contoh 2: Menggambar Titik dari Koordinat
Gambarlah titik C(-2, 4) dan D(3, -2)!
text
Y
↑
5 │
4 │ C(-2,4)●
3 │
2 │
1 │
────────────┼─────────────→ X
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1 │
-2 │ ● D(3,-2)
-3 │
-4 │
-5 │
E. MENENTUKAN POSISI TITIK PADA DENAH
Contoh Denah Peta:
text
Y
↑
6 │ Rumah
5 │ ●
4 │ Sekolah●
3 │
2 │ Taman
1 │ ●
0 ┼─────●─────┴─────→ X
0 1 2 3 4 5 6
Toko
Koordinat:
- Rumah = (1, 5)
- Sekolah = (1, 4)
- Toko = (2, 0)
- Taman = (4, 2)
Soal Cerita Denah:
Soal: Pada denah, rumah Andi berada di koordinat (2, 3). Sekolah berada di (6, 3). Jika setiap 1 satuan mewakili 100 meter, berapa jarak rumah Andi ke sekolah?
Penyelesaian:
text
Jarak pada denah = 6 - 2 = 4 satuan Jarak sebenarnya = 4 × 100 = 400 meter ✅
F. JARAK ANTARA DUA TITIK
Jarak Horizontal (Sumbu X):
Jarak = |x₂ – x₁|
Contoh: Titik A(2, 3) dan B(7, 3)
text
Jarak = |7 - 2| = 5 satuan ✅
Jarak Vertikal (Sumbu Y):
Jarak = |y₂ – y₁|
Contoh: Titik A(2, 3) dan C(2, 8)
text
Jarak = |8 - 3| = 5 satuan ✅
G. TITIK PADA BIDANG KOORDINAT
Contoh: Tentukan koordinat titik A, B, C, D!
text
Y
↑
5 │ A
4 │
3 │ B
2 │
1 │
────────────┼─────────────→ X
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-1 │
C -2 │
-3 │
-4 │
D -5 │
Jawaban:
- A = (-3, 5)
- B = (3, 3)
- C = (-4, -2)
- D = (2, -5)
H. BANGUN DATAR PADA BIDANG KOORDINAT
Contoh 1: Membuat Persegi Panjang
Soal: Gambarlah persegi panjang dengan titik A(1, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(1, 4)!
text
Y
↑
5 │
4 │ D──────C
3 │ │ │
2 │ │ │
1 │ A──────B
0 ┼───┴──┴──┴──┴──→ X
1 2 3 4 5
Perhitungan:
- Panjang AB = |5 – 1| = 4 satuan
- Lebar AD = |4 – 1| = 3 satuan
- Luas = 4 × 3 = 12 satuan luas
- Keliling = 2 × (4 + 3) = 14 satuan
Contoh 2: Membuat Segitiga
Soal: Gambarlah segitiga dengan titik P(1, 1), Q(5, 1), R(3, 5)!
text
Y
↑
5 │ R
4 │ /│
3 │ / │
2 │ / │
1 │ P───Q
0 ┼──┴──┴──┴──┴──→ X
1 2 3 4 5
Perhitungan:
- Alas PQ = |5 – 1| = 4 satuan
- Tinggi = |5 – 1| = 4 satuan
- Luas = ½ × 4 × 4 = 8 satuan luas
I. MENGGAMBAR DENAH DENGAN KOORDINAT
Langkah-langkah:
- Tentukan sumbu X dan Y sesuai kebutuhan
- Tentukan skala yang akan digunakan
- Plot titik-titik pada koordinat
- Hubungkan titik-titik jika diperlukan
Contoh Soal Denah:
Soal: Sebuah kota memiliki beberapa tempat dengan koordinat:
- Rumah sakit = (2, 5)
- Sekolah = (5, 5)
- Pasar = (2, 1)
- Kantor polisi = (6, 2)
Gambarkan denah kota tersebut!
text
Y
↑
6 │
5 │ RS────Sekolah
4 │ │
3 │ │
2 │ Pasar Polisi
1 │ │
0 ┼──┴──┴──┴──┴──┴──┴──→ X
1 2 3 4 5 6 7
J. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1: Menentukan Koordinat
Tentukan koordinat titik-titik berikut pada bidang koordinat!
text
Y
↑
6 │
5 │ A
4 │ B
3 │
2 │ C
1 │ D
────────────┼─────────────→ X
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1 │
E -2 │
-3 │
F -4 │
-5 │
✏️ Soal 2: Menggambar Titik
Gambarlah titik-titik berikut pada bidang koordinat!
- A(3, 4)
- B(-2, 5)
- C(-4, -3)
- D(5, -2)
- E(0, 3)
- F(-3, 0)
✏️ Soal 3: Menentukan Kuadran
Tentukan kuadran dari titik-titik berikut!
- (4, 5)
- (-3, 6)
- (-5, -2)
- (6, -3)
- (0, 4)
- (-3, 0)
✏️ Soal 4: Jarak Antar Titik
Tentukan jarak antar titik berikut!
- A(1, 2) dan B(7, 2)
- C(3, 1) dan D(3, 6)
- P(-2, 3) dan Q(4, 3)
- R(2, -3) dan S(2, 5)
✏️ Soal 5: Bangun Datar
- Gambarlah persegi panjang KLMN dengan K(1, 1), L(6, 1), M(6, 4), N(1, 4). Tentukan luas dan kelilingnya!
- Gambarlah segitiga PQR dengan P(2, 1), Q(6, 1), R(4, 5). Tentukan luasnya!
- Gambarlah persegi ABCD dengan A(2, 2), B(5, 2), C(5, 5), D(2, 5). Tentukan luas dan kelilingnya!
✏️ Soal 6: Soal Cerita
- Pada denah, rumah Budi berada di koordinat (3, 2) dan sekolah di koordinat (7, 2). Jika setiap 1 satuan = 50 meter, berapa jarak rumah Budi ke sekolah?
- Dalam denah taman, kolam berada di koordinat (2, 3) dan gazebo di (2, 8). Berapa jarak kolam ke gazebo jika 1 satuan = 20 meter?
- Sebuah peta memiliki skala 1 : 100.000. Jarak antara kota A dan B pada peta adalah 5 cm. Jika kota A berada di koordinat (2, 3) dan kota B di (7, 3) pada peta, berapa jarak sebenarnya?
- Gambarlah denah sederhana dengan titik-titik berikut:
- Rumah Andi = (1, 2)
- Toko = (4, 2)
- Sekolah = (1, 5)
- Taman = (4, 5)
✏️ Soal 7: Menentukan Posisi
Perhatikan gambar berikut!
text
Y
↑
6 │
5 │ ●A
4 │ ●B
3 │ ●C
2 │ ●D
1 │ ●E
0 ┼───┴───┴───┴───┴───┴───→ X
1 2 3 4 5 6
Tentukan:
- Koordinat titik A, B, C, D, E
- Jika titik A dan C dihubungkan, berapa jaraknya?
- Jika titik B dan E dihubungkan, berapa jaraknya?
K. RANGKUMAN
text
┌────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 📌 RINGKASAN SISTEM KOORDINAT │ ├────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ 🔵 KOORDINAT TITIK: (x, y) │ │ ├─ x = absis (jarak dari sumbu Y) │ │ └─ y = ordinat (jarak dari sumbu X) │ │ │ │ 🔵 KUADRAN: │ │ ├─ Kuadran I: (+, +) │ │ ├─ Kuadran II: (-, +) │ │ ├─ Kuadran III: (-, -) │ │ └─ Kuadran IV: (+, -) │ │ │ │ 🔵 SUMBU: │ │ ├─ Sumbu X → Horizontal (mendatar) │ │ └─ Sumbu Y → Vertikal (tegak) │ │ │ │ 🔵 JARAK: │ │ ├─ Horizontal = |x₂ - x₁| │ │ └─ Vertikal = |y₂ - y₁| │ │ │ │ 💡 TIPS: │ │ ├─ Selalu tulis (x, y), jangan terbalik │ │ ├─ Titik di sumbu X → (x, 0) │ │ ├─ Titik di sumbu Y → (0, y) │ │ └─ Titik pusat → (0, 0) │ │ │ └────────────────────────────────────────────────────────────┘
🎯 KUNCI JAWABAN
Soal 1
A = (1, 5), B = (4, 4), C = (-3, 2), D = (5, 1), E = (-5, -2), F = (-3, -4)
Soal 3 (Kuadran)
- Kuadran I | 2. Kuadran II | 3. Kuadran III | 4. Kuadran IV | 5. Sumbu Y | 6. Sumbu X
Soal 4 (Jarak)
- 6 satuan | 2. 5 satuan | 3. 6 satuan | 4. 8 satuan
Soal 5 (Bangun Datar)
- Luas = 5×3 = 15 satuan luas, Keliling = 2×(5+3) = 16 satuan
- Luas = ½×4×4 = 8 satuan luas
- Luas = 3×3 = 9 satuan luas, Keliling = 4×3 = 12 satuan
Soal 6 (Cerita)
- Jarak denah = 7-3 = 4 satuan, Jarak sebenarnya = 4×50 = 200 meter
- Jarak denah = 8-3 = 5 satuan, Jarak sebenarnya = 5×20 = 100 meter
- Jarak denah = 7-2 = 5 cm, Jarak sebenarnya = 5×100.000 = 500.000 cm = 5 km
- Bangun yang terbentuk = Persegi panjang
Panjang = 4-1 = 3 satuan, Lebar = 5-2 = 3 satuan
Luas = 3×3 = 9 satuan luas = 9×10×10 = 900 m²
Soal 7
- A(2,5), B(5,4), C(2,3), D(4,2), E(6,1)
- Jarak AC = 5-3 = 2 satuan
- Jarak BE = √[(6-5)² + (1-4)²] = √(1+9) = √10 satuan (atau sekitar 3,16 satuan)
PENGOLAHAN DATA (LANJUTAN)
A. PENGERTIAN PENGOLAHAN DATA
Pengolahan data adalah kegiatan mengubah data mentah menjadi informasi yang lebih bermakna melalui penyajian dan analisis.
📌 Tujuan: Memudahkan pembaca memahami informasi dari sekumpulan data.
B. JENIS-JENIS DATA
| Jenis Data | Penjelasan | Contoh |
|---|---|---|
| Data Kualitatif | Data berupa kategori/sifat | Jenis kelamin, warna favorit, pekerjaan |
| Data Kuantitatif | Data berupa angka | Nilai ulangan, tinggi badan, suhu |
C. PENYAJIAN DATA
1. TABEL DISTRIBUSI FREKUENSI
Tabel yang menunjukkan pengelompokan data beserta frekuensinya.
Contoh:
Data nilai ulangan Matematika 30 siswa:
text
65, 70, 75, 80, 85, 70, 75, 80, 90, 65, 70, 75, 85, 80, 75, 70, 85, 90, 75, 80, 70, 85, 75, 80, 90, 65, 70, 75, 80, 85
Tabel Frekuensi:
| Nilai | Turus | Frekuensi |
|---|---|---|
| 65 | III | 3 |
| 70 | IIII I | 6 |
| 75 | IIII II | 7 |
| 80 | IIII I | 6 |
| 85 | IIII | 5 |
| 90 | III | 3 |
| Jumlah | 30 |
2. DIAGRAM BATANG
Diagram batang menggunakan batang persegi panjang yang tingginya menunjukkan frekuensi.
Contoh Diagram Batang dari Data Nilai:
text
Frekuensi
8 ┤ █
7 ┤ █
6 ┤ █ █ █
5 ┤ █ █ █ █
4 ┤ █ █ █ █
3 ┤ █ █ █ █ █ █
2 ┤ █ █ █ █ █ █
1 ┤ █ █ █ █ █ █
0 ┼──┴──┴────┴────┴────┴────┴──
65 70 75 80 85 90
Nilai
Ciri-ciri Diagram Batang:
- Memiliki sumbu vertikal (frekuensi) dan sumbu horizontal (kategori)
- Lebar batang sama
- Tinggi batang menunjukkan frekuensi
- Cocok untuk membandingkan data
3. DIAGRAM LINGKARAN
Diagram lingkaran menunjukkan proporsi setiap kategori terhadap keseluruhan data.
Menghitung Sudut dan Persentase:
Data Hobi 40 Siswa:
| Hobi | Frekuensi | Sudut | Persentase |
|---|---|---|---|
| Olahraga | 12 | (12/40) × 360° = 108° | 30% |
| Membaca | 8 | (8/40) × 360° = 72° | 20% |
| Musik | 10 | (10/40) × 360° = 90° | 25% |
| Melukis | 6 | (6/40) × 360° = 54° | 15% |
| Menari | 4 | (4/40) × 360° = 36° | 10% |
| Total | 40 | 360° | 100% |
Diagram Lingkaran:
text
Musik
90°
████████
██ ██
█ Olah ██
█ raga █ █ Membaca
█ 108° █ █ 72°
█ █
█ █
██ Melukis██
████████
54°
Menari
36°
4. DIAGRAM GARIS
Diagram garis menghubungkan titik-titik data dengan garis lurus.
Ciri-ciri:
- Menunjukkan perubahan atau tren data
- Sumbu X biasanya menunjukkan waktu
- Cocok untuk data berkelanjutan
Contoh:
Data suhu harian selama 7 hari:
| Hari | Senin | Selasa | Rabu | Kamis | Jumat | Sabtu | Minggu |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Suhu | 27°C | 29°C | 28°C | 31°C | 30°C | 33°C | 32°C |
text
Suhu
34 ┤
33 ┤ ●
32 ┤ ●
31 ┤ ●
30 ┤ ● ●
29 ┤ ●
28 ┤ ●
27 ┤ ●
┼───┴───┴───┴───┴───┴───┴───
S S R K J S M
5. PIKTOGRAM
Piktogram menggunakan gambar/simbol untuk mewakili data.
Contoh:
Jumlah siswa SD Merdeka per kelas (1 gambar 🧑 = 5 siswa):
| Kelas | Jumlah Siswa | Piktogram |
|---|---|---|
| 6A | 30 | 🧑🧑🧑🧑🧑🧑 |
| 6B | 25 | 🧑🧑🧑🧑🧑 |
| 6C | 35 | 🧑🧑🧑🧑🧑🧑🧑 |
| 6D | 20 | 🧑🧑🧑🧑 |
Keterangan: 🧑 = 5 siswa
Kelebihan Piktogram:
- Mudah dipahami
- Menarik secara visual
- Cocok untuk anak-anak
Kekurangan:
- Kurang akurat untuk data besar
- Sulit menggambar detail
D. UKURAN PEMUSATAN DATA
1. MEAN (RATA-RATA)
Rumus: Mean = Jumlah seluruh data : Banyak data
x̄ = Σx : n
Contoh:
Data: 70, 75, 80, 85, 90
text
Jumlah = 70 + 75 + 80 + 85 + 90 = 400 Banyak data = 5 Mean = 400 : 5 = 80 ✅
2. MEDIAN (NILAI TENGAH)
Median adalah nilai tengah setelah data diurutkan.
Untuk Data Ganjil:
Contoh: Data: 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
text
Urutan: 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 Median = data ke-(n+1)/2 = data ke-4 = 80 ✅
Untuk Data Genap:
Contoh: Data: 65, 70, 75, 80, 85, 90
text
Urutan: 65, 70, 75, 80, 85, 90
Median = (data ke-3 + data ke-4) : 2
= (75 + 80) : 2 = 77,5 ✅
3. MODUS (NILAI TERSUMBAR)
Modus adalah nilai yang paling sering muncul.
Contoh:
Data: 70, 75, 80, 75, 85, 75, 90, 80, 75
text
Frekuensi: 70 → 1 kali 75 → 4 kali ← modus 80 → 2 kali 85 → 1 kali 90 → 1 kali Modus = 75 ✅
E. SOAL CERITA PENGOLAHAN DATA
📝 Contoh 1: Data Nilai
Soal: Berikut data nilai IPA 12 siswa:
text
75, 80, 85, 70, 85, 80, 75, 90, 85, 80, 75, 85
Tentukan:
- Tabel frekuensi
- Mean
- Median
- Modus
Penyelesaian:
1. Tabel Frekuensi:
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 70 | 1 |
| 75 | 3 |
| 80 | 3 |
| 85 | 4 |
| 90 | 1 |
| Total | 12 |
2. Mean:
text
Jumlah = 70 + 3×75 + 3×80 + 4×85 + 90
= 70 + 225 + 240 + 340 + 90
= 965
Mean = 965 : 12 = 80,42 ✅
3. Median:
text
Data diurutkan: 70, 75, 75, 75, 80, 80, 80, 85, 85, 85, 85, 90 Median = (80 + 80) : 2 = 80 ✅
4. Modus:
text
70 → 1 75 → 3 80 → 3 85 → 4 ← frekuensi tertinggi 90 → 1 Modus = 85 ✅
📝 Contoh 2: Data Diagram Lingkaran
Soal: Diagram lingkaran berikut menunjukkan data pekerjaan orang tua siswa kelas 6. Jika total siswa 120 orang, berapa jumlah siswa yang orang tuanya petani?
text
PNS
30°
████████
██ ██
█ Petani ██
█ ? █ █
█ █
█ █
██ Guru██
████
80° Pedagang
100°
Penyelesaian:
text
Total sudut = 360°
Petani = 360° - (30° + 80° + 100° + 60° + 40°)
= 360° - 310° = 50°
Jumlah petani = (50°/360°) × 120
= (5/36) × 120
= 16,67 ≈ 17 orang ✅
📝 Contoh 3: Data Diagram Batang
Soal: Berikut diagram batang hasil panen (kg) selama 5 tahun:
text
Hasil Panen (kg)
600 ┤
500 ┤ █
400 ┤ █ █
300 ┤ █ █ █
200 ┤ █ █ █ █ █
100 ┤ █ █ █ █ █
0 ┼──┴──┴────┴────┴────┴──
2019 2020 2021 2022 2023
Jika tinggi batang: 2019=200, 2020=300, 2021=450, 2022=500, 2023=350,
Tentukan:
- Total panen 5 tahun
- Rata-rata panen per tahun
Penyelesaian:
text
1. Total = 200 + 300 + 450 + 500 + 350 = 1.800 kg ✅ 2. Rata-rata = 1.800 : 5 = 360 kg/tahun ✅
📝 Contoh 4: Data Diagram Garis
Soal: Berikut grafik jumlah pengunjung perpustakaan:
text
Pengunjung
80 ┤ ●
70 ┤ ●
60 ┤ ●
50 ┤ ●
40 ┤
┼───┴───┴───┴───┴───
Jan Feb Mar Apr Mei
Data: Jan=50, Feb=60, Mar=65, Apr=70, Mei=75
Tentukan:
- Kenaikan pengunjung dari Jan ke Mei
- Rata-rata pengunjung
Penyelesaian:
text
1. Kenaikan = 75 - 50 = 25 pengunjung ✅
2. Rata-rata = (50 + 60 + 65 + 70 + 75) : 5
= 320 : 5 = 64 pengunjung ✅
📝 Contoh 5: Soal Cerita Kompleks
Soal: Sebuah toko buku mencatat penjualan buku selama 5 hari:
| Hari | Senin | Selasa | Rabu | Kamis | Jumat |
|---|---|---|---|---|---|
| Buku | 25 | 30 | 28 | 35 | 32 |
Buatlah diagram batang dan tentukan rata-rata penjualan!
Penyelesaian:
Diagram Batang:
text
Penjualan
40 ┤
35 ┤ █
30 ┤ █ █ █ █
25 ┤ █ █ █ █ █
20 ┤ █ █ █ █ █
┼───┴───┴───┴───┴───┴───
Sen Sel Rab Kam Jum
Rata-rata:
text
Rata-rata = (25 + 30 + 28 + 35 + 32) : 5
= 150 : 5 = 30 buku/hari ✅
F. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1: Tabel Frekuensi
Data tinggi badan (cm) 15 siswa:
text
145, 150, 148, 152, 150, 147, 151, 149, 148, 150, 152, 146, 150, 148, 151
Buatlah tabel frekuensi dari data tersebut!
✏️ Soal 2: Diagram Batang
Dari tabel frekuensi di atas, gambarkan diagram batang!
✏️ Soal 3: Diagram Lingkaran
Data jenis olahraga favorit 36 siswa:
| Olahraga | Jumlah |
|---|---|
| Sepak Bola | 12 |
| Basket | 8 |
| Bulu Tangkis | 6 |
| Renang | 6 |
| Lainnya | 4 |
Hitung sudut dan persentase masing-masing!
✏️ Soal 4: Menghitung Mean, Median, Modus
Data nilai ulangan Matematika 10 siswa:
text
85, 75, 90, 80, 85, 75, 90, 85, 80, 75
Tentukan:
- Mean
- Median
- Modus
✏️ Soal 5: Data dalam Bentuk Tabel
Tabel penjualan roti di toko “Sumber Rezeki”:
| Bulan | Jan | Feb | Mar | Apr | Mei | Jun |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Roti | 120 | 150 | 130 | 160 | 140 | 170 |
Tentukan:
- Total penjualan 6 bulan
- Rata-rata penjualan per bulan
- Bulan dengan penjualan tertinggi
- Bulan dengan penjualan terendah
- Selisih penjualan tertinggi dan terendah
✏️ Soal 6: Data Diagram
Data berat badan (kg) 20 siswa:
| Berat | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Siswa | 2 | 4 | 3 | 5 | 3 | 3 |
Tentukan:
- Jumlah siswa
- Mean
- Median
- Modus
✏️ Soal 7: Soal Cerita
- Data nilai ulangan 8 siswa adalah 70, 80, 75, 85, 70, 90, 75, 80. Berapa rata-rata nilai mereka?
- Sebuah perusahaan mencatat produksi barang (unit) selama 6 hari: 45, 50, 48, 55, 52, 50. Tentukan rata-rata produksi per hari!
- Data suhu ruangan selama 7 jam: 25°, 26°, 27°, 28°, 27°, 26°, 25°. Tentukan modus dari data tersebut!
- Sebuah toko mencatat pengunjung selama 7 hari:
text
50, 55, 53, 60, 58, 55, 52
Tentukan mean, median, dan modus!
- Diagram batang berikut menunjukkan hasil panen jagung (kuintal) di Desa Makmur:
text
Hasil (kuintal)
50 ┤
40 ┤ █ █
30 ┤ █ █ █
20 ┤ █ █ █ █ █
10 ┤ █ █ █ █ █
┼──┴──┴────┴────┴────┴──
2019 2020 2021 2022 2023
Jika data: 2019=25, 2020=30, 2021=35, 2022=45, 2023=40,
Tentukan total panen dan rata-rata per tahun!
G. RANGKUMAN
text
┌────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 📌 RINGKASAN PENGOLAHAN DATA │ ├────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ 🔵 PENYAJIAN DATA: │ │ ├─ Tabel Frekuensi → mengelompokkan data │ │ ├─ Diagram Batang → membandingkan │ │ ├─ Diagram Lingkaran → menunjukkan proporsi │ │ ├─ Diagram Garis → menunjukkan tren/perubahan │ │ └─ Piktogram → menggunakan gambar │ │ │ │ 🔴 UKURAN PEMUSATAN DATA: │ │ ├─ MEAN (Rata-rata) = Jumlah data : Banyak data │ │ ├─ MEDIAN = Nilai tengah setelah diurutkan │ │ │ • Ganjil: data ke-(n+1)/2 │ │ │ • Genap: (data ke-n/2 + data ke-n/2+1) : 2 │ │ └─ MODUS = Nilai yang paling sering muncul │ │ │ │ 💡 TIPS: │ │ ├─ Untuk median, urutkan data terlebih dahulu │ │ ├─ Untuk modus, hitung frekuensi setiap nilai │ │ ├─ Diagram lingkaran: sudut = (f/n) × 360° │ │ └─ Diagram lingkaran: persentase = (f/n) × 100% │ │ │ └────────────────────────────────────────────────────────────┘
🎯 KUNCI JAWABAN
Soal 1 (Tabel Frekuensi)
| Tinggi | Frekuensi |
|---|---|
| 145 | 1 |
| 146 | 1 |
| 147 | 1 |
| 148 | 3 |
| 149 | 1 |
| 150 | 4 |
| 151 | 2 |
| 152 | 2 |
| Total | 15 |
Soal 3 (Diagram Lingkaran)
| Olahraga | Jumlah | Sudut | Persentase |
|---|---|---|---|
| Sepak Bola | 12 | 120° | 33,33% |
| Basket | 8 | 80° | 22,22% |
| Bulu Tangkis | 6 | 60° | 16,67% |
| Renang | 6 | 60° | 16,67% |
| Lainnya | 4 | 40° | 11,11% |
Soal 4
- Jumlah = 75×3 + 80×2 + 85×3 + 90×2 = 225+160+255+180 = 820, Mean = 820:10 = 82
- Median: 75,75,75,80,80,85,85,85,90,90 → (80+85):2 = 82,5
- Modus = 75 dan 85 (muncul 3 kali)
Soal 5
- Total = 120+150+130+160+140+170 = 870 roti
- Rata-rata = 870:6 = 145 roti/bulan
- Tertinggi = Juni (170)
- Terendah = Januari (120)
- Selisih = 170-120 = 50 roti
Soal 6
- Soal 6
- Jumlah siswa = 2+4+3+5+3+3 = 20
- Jumlah berat = 2×30+4×31+3×32+5×33+3×34+3×35 = 60+124+96+165+102+105 = 652, Mean = 652:20 = 32,6 kg
- Median: 30,30,31,31,31,31,32,32,32,33,33,33,33,33,34,34,34,35,35,35 → (33+33):2 = 33 kg
- Modus = 33 kg (muncul 5 kali)
- Soal 7 (Cerita)
- Jumlah = 70+80+75+85+70+90+75+80 = 625, Mean = 625:8 = 78,125
- Jumlah = 45+50+48+55+52+50 = 300, Mean = 300:6 = 50 unit/hari
- Modus = 25°, 26°, 27° (masing-masing muncul 2 kali)
- Mean = (50+55+53+60+58+55+52):7 = 383:7 = 54,71
Median: 50,52,53,55,55,58,60 → 55
Modus = 55 (muncul 2 kali) - Total = 25+30+35+45+40 = 175 kuintal
Rata-rata = 175:5 = 35 kuintal/tahun
VOLUME BANGUN RUANG
A. PENGERTIAN VOLUME
Volume adalah ukuran besar ruang yang dapat ditempati oleh suatu bangun ruang.
📌 Satuan Volume: mm³, cm³, dm³, m³, dam³, hm³, km³
Bangun ruang adalah bangun yang memiliki 3 dimensi: panjang, lebar, dan tinggi (atau rusuk, diameter, tinggi).
B. JENIS-JENIS BANGUN RUANG
| No | Bangun Ruang | Ciri-ciri |
|---|---|---|
| 1 | Kubus | 6 sisi berbentuk persegi, 12 rusuk sama panjang |
| 2 | Balok | 6 sisi berbentuk persegi panjang, 12 rusuk |
| 3 | Prisma Segitiga | 2 alas segitiga, 3 sisi tegak persegi panjang |
| 4 | Tabung | 2 alas lingkaran, 1 sisi lengkung |
| 5 | Limas | 1 alas segi-n, sisi tegak segitiga |
| 6 | Kerucut | 1 alas lingkaran, 1 sisi lengkung |
| 7 | Bola | 1 sisi lengkung, tidak memiliki rusuk |
C. RUMUS VOLUME BANGUN RUANG
1. KUBUS
text
s
┌──────┐
/│ /│
/ │ / │ s
───┘─────┘
s
Volume = s × s × s = s³
Keterangan: s = panjang rusuk
Contoh:
Hitung volume kubus dengan rusuk 8 cm!
text
V = s³ V = 8 × 8 × 8 = 512 cm³ ✅
2. BALOK
text
t
┌──────┐
/│ /│
/ │ / │
───┘─────┘
p l
Volume = p × l × t
Keterangan: p = panjang, l = lebar, t = tinggi
Contoh:
Hitung volume balok dengan panjang 12 cm, lebar 8 cm, tinggi 6 cm!
text
V = p × l × t V = 12 × 8 × 6 = 576 cm³ ✅
3. PRISMA SEGITIGA
text
t (tinggi prisma)
┌──────┐
/│ /│
/ │ / │
───┘─────┘
alas segitiga
a (alas segitiga)
tₐ (tinggi segitiga)
Volume = Luas alas × Tinggi Prisma
V = (½ × a × tₐ) × t
Keterangan:
a = alas segitiga
tₐ = tinggi segitiga
t = tinggi prisma
Contoh:
Hitung volume prisma segitiga dengan alas segitiga 10 cm, tinggi segitiga 8 cm, dan tinggi prisma 15 cm!
text
Luas alas = ½ × a × tₐ
= ½ × 10 × 8 = 40 cm²
V = Luas alas × t
V = 40 × 15 = 600 cm³ ✅
4. TABUNG
text
r
┌──┴──┐
│ │
│ │ t (tinggi)
│ │
└──┌──┘
r
Volume = Luas alas × Tinggi
V = π × r² × t
Keterangan:
r = jari-jari alas
t = tinggi tabung
π = 22/7 atau 3,14
Contoh 1:
Hitung volume tabung dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 10 cm!
text
V = π × r² × t V = 22/7 × 7 × 7 × 10 V = 22 × 7 × 10 = 1.540 cm³ ✅
Contoh 2:
Hitung volume tabung dengan diameter 14 cm dan tinggi 20 cm!
text
r = d : 2 = 14 : 2 = 7 cm V = π × r² × t V = 22/7 × 7 × 7 × 20 V = 22 × 7 × 20 = 3.080 cm³ ✅
5. LIMAS SEGIEMPAT
text
T
/|\
/ | \
/ | \ t (tinggi)
/ | \
/____|____\
A O C
|
B
(alas persegi/persegi panjang)
Volume = ⅓ × Luas alas × Tinggi
V = ⅓ × Luas alas × t
Contoh:
Hitung volume limas segiempat dengan alas persegi panjang 12 cm × 8 cm dan tinggi 9 cm!
text
Luas alas = 12 × 8 = 96 cm² V = ⅓ × 96 × 9 V = 288 cm³ ✅
6. KERUCUT
text
T
/|\
/ | \
/ | \ t (tinggi)
/ | \
/____|____\
A O B
r
Volume = ⅓ × Luas alas × Tinggi
V = ⅓ × π × r² × t
Keterangan:
r = jari-jari alas
t = tinggi kerucut
π = 22/7 atau 3,14
Contoh:
Hitung volume kerucut dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 12 cm!
text
V = ⅓ × π × r² × t V = ⅓ × 22/7 × 7 × 7 × 12 V = ⅓ × 22 × 7 × 12 V = ⅓ × 1.848 V = 616 cm³ ✅
7. BOLA
text
⭕
/ \
| |
| r |
| |
\ /
⭕
Volume = ⁴⁄₃ × π × r³
Keterangan:
r = jari-jari bola
π = 22/7 atau 3,14
Contoh 1:
Hitung volume bola dengan jari-jari 21 cm!
text
V = ⁴⁄₃ × π × r³ V = ⁴⁄₃ × 22/7 × 21 × 21 × 21 V = ⁴⁄₃ × 22 × 3 × 21 × 21 V = ⁴⁄₃ × 29.106 V = 38.808 cm³ ✅
Contoh 2:
Hitung volume bola dengan diameter 14 cm!
text
r = 14 : 2 = 7 cm V = ⁴⁄₃ × 22/7 × 7 × 7 × 7 V = ⁴⁄₃ × 22 × 7 × 7 V = ⁴⁄₃ × 1.078 V = 1.437,33 cm³ ≈ 1.437,33 cm³ ✅
D. TABEL RUMUS VOLUME
| No | Bangun Ruang | Rumus Volume |
|---|---|---|
| 1 | Kubus | V = s³ |
| 2 | Balok | V = p × l × t |
| 3 | Prisma Segitiga | V = Luas alas × t |
| 4 | Tabung | V = π × r² × t |
| 5 | Limas | V = ⅓ × Luas alas × t |
| 6 | Kerucut | V = ⅓ × π × r² × t |
| 7 | Bola | V = ⁴⁄₃ × π × r³ |
E. VOLUME GABUNGAN BANGUN RUANG
Cara Menghitung:
- Identifikasi bangun-bangun yang membentuk gabungan
- Hitung volume masing-masing bangun
- Jumlahkan semua volume
📝 Contoh 1: Kubus + Balok
Soal: Sebuah bangun ruang terdiri dari kubus dengan rusuk 6 cm di bagian bawah dan balok dengan panjang 6 cm, lebar 6 cm, dan tinggi 4 cm di bagian atas. Hitung volume gabungan!
Penyelesaian:
text
Volume kubus = s³ = 6 × 6 × 6 = 216 cm³ Volume balok = p × l × t = 6 × 6 × 4 = 144 cm³ Volume gabungan = 216 + 144 = 360 cm³ ✅
📝 Contoh 2: Tabung + Kerucut
Soal: Sebuah bangun ruang berbentuk tabung dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 10 cm, di atasnya terdapat kerucut dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 6 cm. Hitung volume gabungan!
Penyelesaian:
text
Volume tabung = π × r² × t
= 22/7 × 7 × 7 × 10
= 1.540 cm³
Volume kerucut = ⅓ × π × r² × t
= ⅓ × 22/7 × 7 × 7 × 6
= ⅓ × 924
= 308 cm³
Volume gabungan = 1.540 + 308 = 1.848 cm³ ✅
📝 Contoh 3: Balok + Limas
Soal: Sebuah bangun ruang terdiri dari balok dengan ukuran 12 cm × 8 cm × 6 cm dan limas segiempat dengan alas 12 cm × 8 cm dan tinggi 9 cm di atasnya. Hitung volume gabungan!
Penyelesaian:
text
Volume balok = p × l × t = 12 × 8 × 6 = 576 cm³ Luas alas limas = 12 × 8 = 96 cm² Volume limas = ⅓ × 96 × 9 = 288 cm³ Volume gabungan = 576 + 288 = 864 cm³ ✅
F. SOAL CERITA VOLUME
📝 Contoh 1: Kubus
Soal: Sebuah bak mandi berbentuk kubus dengan panjang rusuk 80 cm. Berapa liter air yang dapat ditampung bak mandi tersebut?
Penyelesaian:
text
V = s³ = 80 × 80 × 80 = 512.000 cm³ 512.000 cm³ = 512 dm³ = 512 liter ✅
📝 Contoh 2: Balok
Soal: Sebuah kolam renang berbentuk balok dengan panjang 10 m, lebar 5 m, dan kedalaman 2 m. Berapa volume air yang dapat ditampung kolam tersebut?
Penyelesaian:
text
V = p × l × t = 10 × 5 × 2 = 100 m³ ✅
📝 Contoh 3: Tabung
Soal: Sebuah drum berbentuk tabung memiliki diameter 56 cm dan tinggi 90 cm. Berapa liter volume drum tersebut?
Penyelesaian:
text
r = 56 : 2 = 28 cm V = π × r² × t V = 22/7 × 28 × 28 × 90 V = 22 × 4 × 28 × 90 V = 221.760 cm³ 221.760 cm³ = 221,76 dm³ = 221,76 liter ✅
📝 Contoh 4: Prisma
Soal: Sebuah tenda berbentuk prisma segitiga dengan alas segitiga 3 m, tinggi segitiga 2 m, dan panjang tenda 5 m. Berapa volume udara di dalam tenda?
Penyelesaian:
text
Luas alas = ½ × 3 × 2 = 3 m² V = Luas alas × t = 3 × 5 = 15 m³ ✅
📝 Contoh 5: Kerucut
Soal: Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut dengan diameter 28 cm dan tinggi 30 cm. Berapa volume topi tersebut?
Penyelesaian:
text
r = 28 : 2 = 14 cm V = ⅓ × π × r² × t V = ⅓ × 22/7 × 14 × 14 × 30 V = ⅓ × 22 × 2 × 14 × 30 V = ⅓ × 18.480 V = 6.160 cm³ ✅
📝 Contoh 6: Bangun Gabungan (Soal Kompleks)
Soal: Sebuah monumen berbentuk gabungan tabung dan kerucut. Bagian bawah berbentuk tabung dengan diameter 14 m dan tinggi 10 m. Bagian atas berbentuk kerucut dengan jari-jari 7 m dan tinggi 6 m. Berapa volume monumen tersebut?
Penyelesaian:
text
Tabung: r = 7 m V₁ = π × r² × t = 22/7 × 7 × 7 × 10 = 1.540 m³ Kerucut: V₂ = ⅓ × π × r² × t = ⅓ × 22/7 × 7 × 7 × 6 = 308 m³ Volume total = 1.540 + 308 = 1.848 m³ ✅
G. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1: Kubus dan Balok
- Sebuah kubus memiliki rusuk 15 cm. Berapa volumenya?
- Balok dengan panjang 20 cm, lebar 12 cm, dan tinggi 8 cm. Berapa volumenya?
- Sebuah akuarium berbentuk balok berukuran 60 cm × 40 cm × 50 cm. Berapa liter air yang dapat ditampung?
- Kubus dengan volume 4.096 cm³. Berapa panjang rusuknya?
- Balok dengan volume 1.440 cm³, panjang 12 cm, lebar 10 cm. Berapa tingginya?
✏️ Soal 2: Prisma dan Tabung
- Prisma segitiga dengan alas segitiga 8 cm, tinggi segitiga 6 cm, dan tinggi prisma 12 cm. Berapa volumenya?
- Tabung dengan jari-jari 10 cm dan tinggi 15 cm. Berapa volumenya?
- Tabung dengan diameter 28 cm dan tinggi 20 cm. Berapa volumenya?
- Sebuah pipa berbentuk tabung dengan diameter 14 cm dan panjang 50 cm. Berapa volume pipa?
- Prisma segitiga dengan volume 540 cm³, luas alas 45 cm². Berapa tinggi prisma?
✏️ Soal 3: Limas dan Kerucut
- Limas segiempat dengan alas persegi 12 cm dan tinggi 15 cm. Berapa volumenya?
- Limas dengan alas persegi panjang 16 cm × 10 cm dan tinggi 12 cm. Berapa volumenya?
- Kerucut dengan jari-jari 14 cm dan tinggi 18 cm. Berapa volumenya?
- Kerucut dengan diameter 42 cm dan tinggi 30 cm. Berapa volumenya?
- Limas dengan volume 400 cm³ dan luas alas 80 cm². Berapa tingginya?
✏️ Soal 4: Bola
- Bola dengan jari-jari 21 cm. Berapa volumenya?
- Bola dengan diameter 28 cm. Berapa volumenya?
- Bola dengan jari-jari 10 cm. Berapa volumenya? (π = 3,14)
- Sebuah globe berbentuk bola dengan diameter 42 cm. Berapa volumenya?
- Volume bola 38.808 cm³. Berapa jari-jarinya?
✏️ Soal 5: Volume Gabungan
- Sebuah bangun ruang terdiri dari kubus (rusuk 8 cm) dan balok (8 cm × 8 cm × 5 cm) di atasnya. Berapa volume gabungan?
- Sebuah bangun ruang terdiri dari tabung (r = 14 cm, t = 20 cm) dan setengah bola di atasnya (r = 14 cm). Berapa volume gabungan?
- Sebuah bangun ruang terdiri dari balok (10 cm × 8 cm × 6 cm) dan limas segiempat (alas 10 cm × 8 cm, tinggi 9 cm) di atasnya. Berapa volume gabungan?
- Sebuah bangun ruang terdiri dari kerucut (r = 7 cm, t = 12 cm) dan setengah bola (r = 7 cm) di bawahnya. Berapa volume gabungan?
✏️ Soal 6: Soal Cerita
- Sebuah bak mandi berbentuk balok berukuran 1,2 m × 0,8 m × 0,6 m. Berapa liter air yang dapat ditampung?
- Sebuah drum minyak berbentuk tabung dengan diameter 70 cm dan tinggi 100 cm. Berapa liter minyak yang dapat ditampung?
- Sebuah tenda berbentuk prisma segitiga dengan alas segitiga 4 m, tinggi segitiga 3 m, dan panjang tenda 6 m. Berapa volume udara di dalam tenda?
- Sebuah es krim berbentuk kerucut dengan diameter 10 cm dan tinggi 15 cm. Berapa volume es krim tersebut?
- Sebuah kaleng berbentuk tabung dengan jari-jari 7 cm dan tinggi 20 cm diisi air. Jika air dituang ke dalam wadah berbentuk kubus dengan rusuk 14 cm, apakah air dapat ditampung seluruhnya? (Hitung volume masing-masing)
- Sebuah monumen berbentuk gabungan balok dan limas. Bagian bawah balok berukuran 6 m × 4 m × 3 m. Bagian atas limas dengan alas 6 m × 4 m dan tinggi 5 m. Berapa volume monumen?
H. RANGKUMAN
text
┌────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ 📌 RINGKASAN VOLUME BANGUN RUANG │ ├────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ 🔵 KUBUS → V = s³ │ │ 🔵 BALOK → V = p × l × t │ │ 🔵 PRISMA SEGITIGA → V = Luas alas × t │ │ 🔵 TABUNG → V = π × r² × t │ │ 🔵 LIMAS → V = ⅓ × Luas alas × t │ │ 🔵 KERUCUT → V = ⅓ × π × r² × t │ │ 🔵 BOLA → V = ⁴⁄₃ × π × r³ │ │ │ │ 💡 TIPS: │ │ ├─ Untuk tabung/kerucut: jika r kelipatan 7 → pakai 22/7│ │ ├─ Untuk limas/kerucut: jangan lupa × ⅓ │ │ ├─ Volume gabungan = jumlah volume masing-masing │ │ └─ 1 cm³ = 1 mL, 1 dm³ = 1 L, 1 m³ = 1.000 L │ │ │ └────────────────────────────────────────────────────────────┘
🎯 KUNCI JAWABAN
Soal 1 (Kubus & Balok)
- 15³ = 3.375 cm³
- 20 × 12 × 8 = 1.920 cm³
- 60×40×50 = 120.000 cm³ = 120 L
- s = ³√4.096 = 16 cm
- t = 1.440 : (12×10) = 1.440:120 = 12 cm
Soal 2 (Prisma & Tabung)
- Luas alas = ½×8×6 = 24 cm², V = 24×12 = 288 cm³
- V = 3,14 × 10 × 10 × 15 = 4.710 cm³
- r = 14 cm, V = 22/7 × 14 × 14 × 20 = 12.320 cm³
- r = 7 cm, V = 22/7 × 7 × 7 × 50 = 7.700 cm³
- t = 540 : 45 = 12 cm
Soal 3 (Limas & Kerucut)
- Luas alas = 12×12 = 144 cm², V = ⅓×144×15 = 720 cm³
- Luas alas = 16×10 = 160 cm², V = ⅓×160×12 = 640 cm³
- V = ⅓ × 22/7 × 14 × 14 × 18 = ⅓ × 11.088 = 3.696 cm³
- r = 21 cm, V = ⅓ × 22/7 × 21 × 21 × 30 = 13.860 cm³
- t = (400×3):80 = 15 cm
Soal 4 (Bola)
- V = ⁴⁄₃ × 22/7 × 21 × 21 × 21 = ⁴⁄₃ × 29.106 = 38.808 cm³
- r = 14 cm, V = ⁴⁄₃ × 22/7 × 14 × 14 × 14 = ⁴⁄₃ × 8.624 = 11.498,67 cm³
- V = ⁴⁄₃ × 3,14 × 10 × 10 × 10 = 4.186,67 cm³
- r = 21 cm, V = 38.808 cm³
- r³ = (38.808 × 3 × 7) : (4 × 22) = 814.968 : 88 = 9.261, r = ³√9.261 = 21 cm
Soal 5 (Gabungan)
- V kubus = 8³ = 512 cm³, V balok = 8×8×5 = 320 cm³, total = 832 cm³
- V tabung = 22/7×14×14×20 = 12.320 cm³, V setengah bola = ½ × ⁴⁄₃ × 22/7 × 14³ = 5.749,33 cm³, total = 18.069,33 cm³
- V balok = 10×8×6 = 480 cm³, V limas = ⅓×10×8×9 = 240 cm³, total = 720 cm³
- V kerucut = ⅓×22/7×7×7×12 = 616 cm³, V setengah bola = ½×⁴⁄₃×22/7×7³ = 718,67 cm³, total = 1.334,67 cm³
Soal 6 (Cerita)
- V = 1,2×0,8×0,6 = 0,576 m³ = 576 L
- r = 35 cm, V = 22/7×35×35×100 = 385.000 cm³ = 385 L
- Luas alas = ½×4×3 = 6 m², V = 6×6 = 36 m³
- r = 5 cm, V = ⅓×3,14×5×5×15 = 392,5 cm³
- V tabung = 22/7×7×7×20 = 3.080 cm³, V kubus = 14³ = 2.744 cm³, Karena 3.080 > 2.744, air tidak dapat ditampung seluruhnya
- V balok = 6×4×3 = 72 m³, V limas = ⅓×6×4×5 = 40 m³, total = 112 m³
Semoga bermanfaat! Terus berlatih menghitung volume bangun ruang! 📐📚😊
BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 6
PELUANG
A. PENGERTIAN PELUANG
Peluang adalah ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian atau peristiwa.
📌 Peluang dalam kehidupan sehari-hari:
- Kemungkinan cuaca akan hujan
- Kemungkinan seorang siswa menjadi juara kelas
- Kemungkinan mendapatkan sisi angka saat melempar koin
- Kemungkinan munculnya mata dadu tertentu
B. ISTILAH-ISTILAH DALAM PELUANG
| Istilah | Penjelasan | Contoh |
|---|---|---|
| Percobaan | Kegiatan yang dilakukan untuk memperoleh hasil | Melempar dadu, melempar koin |
| Ruang Sampel (S) | Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi | S = {1,2,3,4,5,6} untuk dadu |
| Titik Sampel | Setiap hasil dalam ruang sampel | 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Kejadian (A) | Himpunan bagian dari ruang sampel | Muncul mata dadu genap = {2,4,6} |
| Frekuensi Relatif | Perbandingan banyak kejadian dengan banyak percobaan | – |
C. MENENTUKAN RUANG SAMPEL
1. Melempar Satu Koin
text
Koin memiliki 2 sisi:
- Angka (A)
- Gambar (G)
Ruang Sampel = {A, G}
Banyak ruang sampel = 2
2. Melempar Dua Koin
text
Kemungkinan hasil:
- (A,A) = kedua-duanya angka
- (A,G) = angka dan gambar
- (G,A) = gambar dan angka
- (G,G) = kedua-duanya gambar
Ruang Sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}
Banyak ruang sampel = 4
3. Melempar Satu Dadu
text
Dadu memiliki 6 sisi dengan mata:
1, 2, 3, 4, 5, 6
Ruang Sampel = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Banyak ruang sampel = 6
4. Melempar Dua Dadu
text
Kemungkinan hasil (36 kemungkinan): (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) Banyak ruang sampel = 6 × 6 = 36
D. FREKUENSI RELATIF
Rumus Frekuensi Relatif:
Frekuensi Relatif = Banyak Kejadian / Banyak Percobaan
Contoh:
Sebuah koin dilempar 50 kali. Hasilnya:
- Muncul angka = 28 kali
- Muncul gambar = 22 kali
Frekuensi Relatif:
text
Muncul angka = 28/50 = 0,56 = 56% Muncul gambar = 22/50 = 0,44 = 44%
E. NILAI PELUANG
1. Rumus Peluang
Peluang Kejadian A:
P(A) = n(A) / n(S)
Keterangan:
- P(A) = peluang kejadian A
- n(A) = banyak kejadian A
- n(S) = banyak ruang sampel
2. Nilai Peluang
text
Nilai peluang selalu antara 0 dan 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1 - P(A) = 0 → Kejadian mustahil terjadi - P(A) = 1 → Kejadian pasti terjadi - 0 < P(A) < 1 → Kejadian mungkin terjadi
3. Contoh Perhitungan Peluang
Contoh 1:
Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul mata dadu 4!
text
Ruang sampel = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
Kejadian A = muncul mata dadu 4 → n(A) = 1
P(A) = 1/6 ✅
Contoh 2:
Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul mata dadu genap!
text
Ruang sampel = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
Kejadian A = muncul mata dadu genap = {2, 4, 6} → n(A) = 3
P(A) = 3/6 = 1/2 ✅
Contoh 3:
Sebuah koin dilempar sekali. Tentukan peluang muncul gambar!
text
Ruang sampel = {A, G} → n(S) = 2
Kejadian A = muncul gambar = {G} → n(A) = 1
P(A) = 1/2 ✅
Contoh 4:
Dua koin dilempar bersama. Tentukan peluang muncul keduanya gambar!
text
Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)} → n(S) = 4
Kejadian A = {(G,G)} → n(A) = 1
P(A) = 1/4 ✅
Contoh 5:
Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang muncul jumlah mata dadu 7!
text
Ruang sampel = 6 × 6 = 36 Kejadian A = jumlah 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → n(A) = 6 P(A) = 6/36 = 1/6 ✅
F. PELUANG EMPIRIS
Peluang empiris adalah peluang yang diperoleh dari hasil percobaan (data nyata).
Rumus Peluang Empiris:
P(A) = Frekuensi Kejadian A / Banyak Percobaan
Contoh:
Sebuah dadu dilempar 100 kali. Hasilnya:
- Mata dadu 1 muncul 18 kali
- Mata dadu 2 muncul 16 kali
- Mata dadu 3 muncul 15 kali
- Mata dadu 4 muncul 20 kali
- Mata dadu 5 muncul 17 kali
- Mata dadu 6 muncul 14 kali
Peluang Empiris muncul mata dadu 4:
text
P(4) = 20/100 = 0,2 = 20%
Peluang Empiris muncul mata dadu genap:
text
Mata dadu genap = 2, 4, 6 Frekuensi = 16 + 20 + 14 = 50 P(genap) = 50/100 = 1/2 = 50%
G. PERBANDINGAN PELUANG TEORITIK DAN EMPIRIS
| Aspek | Peluang Teoritik | Peluang Empiris |
|---|---|---|
| Dasar | Teori matematika | Hasil percobaan |
| Rumus | P(A) = n(A)/n(S) | P(A) = f(A)/n |
| Nilai | Tetap | Berubah-ubah tergantung percobaan |
| Contoh | Peluang dadu muncul 4 = 1/6 | Hasil lemparan 100 kali muncul 4 = 20/100 |
Semakin banyak percobaan, peluang empiris mendekati peluang teoritik
H. SOAL CERITA PELUANG
📝 Contoh 1: Peluang dalam Kehidupan
Soal: Dalam sebuah kantong terdapat 5 kelereng merah, 3 kelereng biru, dan 2 kelereng hijau. Jika diambil satu kelereng secara acak, berapa peluang terambil kelereng merah?
Penyelesaian:
text
Total kelereng = 5 + 3 + 2 = 10 → n(S) = 10 Kelereng merah = 5 → n(A) = 5 P(merah) = 5/10 = 1/2 ✅
📝 Contoh 2: Peluang dalam Undian
Soal: Dalam sebuah kotak terdapat 15 bola yang diberi nomor 1 sampai 15. Jika diambil satu bola secara acak, berapa peluang terambil bola bernomor genap?
Penyelesaian:
text
Ruang sampel = {1, 2, 3, ..., 15} → n(S) = 15
Bola genap = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} → n(A) = 7
P(genap) = 7/15 ✅
📝 Contoh 3: Peluang dengan Percobaan
Soal: Sebuah koin dilempar sebanyak 40 kali. Hasilnya angka muncul 22 kali dan gambar 18 kali. Tentukan:
a. Peluang empiris muncul angka
b. Peluang empiris muncul gambar
Penyelesaian:
text
a. P(angka) = 22/40 = 11/20 = 0,55 = 55% ✅ b. P(gambar) = 18/40 = 9/20 = 0,45 = 45% ✅
📝 Contoh 4: Peluang Dua Kejadian
Soal: Dua dadu dilempar bersama. Berapa peluang muncul mata dadu berjumlah 8?
Penyelesaian:
text
Ruang sampel = 36 Kejadian jumlah 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → n(A) = 5 P(jumlah 8) = 5/36 ✅
📝 Contoh 5: Peluang Majemuk
Soal: Dalam sebuah kelas terdapat 30 siswa. 18 siswa menyukai matematika, 12 siswa menyukai IPA. Jika dipilih satu siswa secara acak, berapa peluang terpilih siswa yang menyukai matematika?
Penyelesaian:
text
Total siswa = 30 → n(S) = 30 Siswa suka matematika = 18 → n(A) = 18 P(matematika) = 18/30 = 3/5 = 0,6 = 60% ✅
I. LATIHAN SOAL
✏️ Soal 1: Menentukan Ruang Sampel
Tentukan ruang sampel dan banyak ruang sampel dari percobaan berikut!
- Melempar sebuah koin
- Melempar sebuah dadu
- Melempar dua koin
- Melempar dua dadu
✏️ Soal 2: Peluang Teoritik
- Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul mata dadu:
a. 5
b. Ganjil
c. Kelipatan 3
d. Kurang dari 4
e. Lebih dari 4 - Sebuah koin dilempar sekali. Tentukan peluang muncul:
a. Angka
b. Gambar - Dua koin dilempar bersama. Tentukan peluang muncul:
a. Keduanya angka
b. Satu angka dan satu gambar
c. Keduanya gambar - Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang muncul:
a. Jumlah mata dadu 5
b. Jumlah mata dadu 9
c. Jumlah mata dadu 10
d. Jumlah mata dadu 12
✏️ Soal 3: Peluang Empiris
- Sebuah dadu dilempar 60 kali. Hasilnya:
- Mata 1 muncul 9 kali
- Mata 2 muncul 11 kali
- Mata 3 muncul 10 kali
- Mata 4 muncul 12 kali
- Mata 5 muncul 8 kali
- Mata 6 muncul 10 kali
a. Mata dadu 1
b. Mata dadu genap
c. Mata dadu lebih dari 3 - Sebuah koin dilempar 80 kali. Hasilnya angka muncul 46 kali dan gambar 34 kali. Tentukan peluang empiris muncul:
a. Angka
b. Gambar
✏️ Soal 4: Soal Cerita
- Dalam sebuah kotak terdapat 8 bola merah, 5 bola biru, dan 7 bola hijau. Jika diambil satu bola secara acak, berapa peluang terambil:
a. Bola merah
b. Bola biru
c. Bola hijau - Sebuah kotak berisi 20 kartu bernomor 1 sampai 20. Jika diambil satu kartu secara acak, berapa peluang terambil kartu:
a. Bernomor genap
b. Bernomor kelipatan 3
c. Bernomor 7
d. Bernomor kurang dari 10 - Dalam sebuah keranjang terdapat 12 apel, 8 jeruk, dan 10 mangga. Jika diambil satu buah secara acak, berapa peluang terambil:
a. Apel
b. Jeruk
c. Mangga
d. Bukan apel - Sebuah dadu dilempar 120 kali. Hasilnya:
- Mata 1 muncul 22 kali
- Mata 2 muncul 18 kali
- Mata 3 muncul 20 kali
- Mata 4 muncul 25 kali
- Mata 5 muncul 17 kali
- Mata 6 muncul 18 kali
a. Peluang empiris muncul mata dadu 4
b. Peluang empiris muncul mata dadu ganjil
c. Bandingkan dengan peluang teoritiknya!
✏️ Soal 5: Peluang Gabungan
- Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang muncul:
a. Jumlah mata dadu 6
b. Jumlah mata dadu 11
c. Mata dadu sama (kembar)
d. Mata dadu berbeda - Dalam sebuah kotak terdapat bola bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Jika diambil satu bola secara acak, tentukan peluang terambil:
a. Bilangan prima
b. Bilangan genap
c. Bilangan ganjil
d. Bilangan prima dan genap
J. RANGKUMAN
text
┌────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 📌 RINGKASAN PELUANG │
├────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ 🔵 RUANG SAMPEL (S): │
│ ├─ Koin 1: {A, G} → n(S) = 2 │
│ ├─ Koin 2: {AA, AG, GA, GG} → n(S) = 4 │
│ ├─ Dadu 1: {1,2,3,4,5,6} → n(S) = 6 │
│ └─ Dadu 2: 36 kemungkinan → n(S) = 36 │
│ │
│ 🔴 PELUANG TEORITIK: │
│ ├─ P(A) = n(A) / n(S) │
│ ├─ 0 ≤ P(A) ≤ 1 │
│ ├─ P(A) = 0 → mustahil │
│ └─ P(A) = 1 → pasti │
│ │
│ 🔴 PELUANG EMPIRIS: │
│ └─ P(A) = f(A) / n (hasil percobaan) │
│ │
│ 💡 TIPS: │
│ ├─ Peluang selalu dalam bentuk pecahan │
│ ├─ Semakin besar nilai peluang, semakin besar kemungkinan│
│ └─ Semakin banyak percobaan, empiris mendekati teoritik │
│ │
└────────────────────────────────────────────────────────────┘
🎯 KUNCI JAWABAN
Soal 1 (Ruang Sampel)
- S = {A, G}, n(S) = 2
- S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
- S = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}, n(S) = 4
- S = 36 kemungkinan, n(S) = 36
Soal 2 (Peluang Teoritik)
- a. 1/6 | b. 3/6 = 1/2 | c. 2/6 = 1/3 | d. 3/6 = 1/2 | e. 2/6 = 1/3
- a. 1/2 | b. 1/2
- a. 1/4 | b. 2/4 = 1/2 | c. 1/4
- a. 4/36 = 1/9 | b. 4/36 = 1/9 | c. 3/36 = 1/12 | d. 1/36
Soal 3 (Peluang Empiris)
- a. 9/60 = 3/20 | b. (11+12+10)/60 = 33/60 = 11/20 | c. (12+8+10)/60 = 30/60 = 1/2
- a. 46/80 = 23/40 | b. 34/80 = 17/40
Soal 4 (Soal Cerita)
- Total = 20
a. 8/20 = 2/5 | b. 5/20 = 1/4 | c. 7/20 - Total = 20
a. 10/20 = 1/2 | b. 6/20 = 3/10 | c. 1/20 | d. 9/20 - Total = 30
a. 12/30 = 2/5 | b. 8/30 = 4/15 | c. 10/30 = 1/3 | d. 18/30 = 3/5 - a. 25/120 = 5/24 | b. (22+20+17)/120 = 59/120 | c. Teoritik = 1/2 = 60/120, empiris = 59/120 (hampir sama)
Soal 5 (Peluang Gabungan)
- a. 5/36 | b. 2/36 = 1/18 | c. 6/36 = 1/6 | d. 30/36 = 5/6
- Total = 10
a. Prima (2,3,5,7) = 4/10 = 2/5
b. Genap (2,4,6,8,10) = 5/10 = 1/2
c. Ganjil (1,3,5,7,9) = 5/10 = 1/2
d. Prima dan genap (2) = 1/10
Semoga bermanfaat! Peluang ada di mana-mana dalam kehidupan sehari-hari! 🎲📚😊